寻找更精细无穷大量的方法

问题：
寻找序列$a_n$使得下式成立：
$$\frac{n}{a_n}\exp (-\frac{a_n^2}{2})\to 1,n\to \infty .$$
求解及分析：
一般来说我们会想到利用等价量，但是这里的$\exp (-\frac{a_n^2}{2})$是不能展开的，因为分析知$a_n$是个无穷大量，展开后我们获得的是一个无穷次的等价多项式，是没有意义的。不过仍然利用“抓大头”的想法，这里的无穷大量是$n$，而无穷小量是$\exp (-\frac{a_n^2}{2})$(相比$\frac{1}{a_n}$，更快地趋于0).于是我们希望大头相等：
$$n\exp (-\frac{a_n^2}{2})=1,$$
可得：
$$a_n=\sqrt{2\ln n},$$
但这是“大头”，还需要一个小头来平衡分母中的$a_n$,于是令$a_n=\sqrt{2\ln n}-b_n$,其中需要$b_n$是$\sqrt{2\ln n}$的低阶量，替代上式中的$a_n$得到：
$$\frac{n}{\sqrt{2\ln n}-b_n}\exp \left(-\frac{(\sqrt{2\ln n}-b_n{)}^2}{2}\right)\sim \frac{1}{\sqrt{2\ln n}-b_n}\exp \left(b_n\sqrt{2\ln n}\right)$$
$$\sim \frac{1}{\sqrt{2\ln n}}\exp \left(b_n\sqrt{2\ln n}\right)$$
令上式等1，可得：
$$b_n=\frac{\ln \sqrt{2\ln n}}{\sqrt{2\ln n}},$$
最终得到：
$$a_n=\sqrt{2\ln n}-\frac{\ln \sqrt{2\ln n}}{\sqrt{2\ln n}}.$$