LeetCode509. Fibonacci Number题解

最新推荐文章于 2022-10-18 18:41:34 发布

饥渴的小苹果

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分类专栏： Python

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这篇博客详细介绍了LeetCode509题目的解法，包括递归、备忘录和动态规划三种方法。递归方法虽然直观但效率较低，备忘录法通过存储中间结果降低时间复杂度到O(n)，动态规划法进一步优化，以O(n)时间复杂度和O(1)空间复杂度实现最高效解法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题描述

斐波那契数列定义为F(n)。其中

F(0) = 0 F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), for N > 1.

输入输出样例

Input: 2
Output: 1
Explanation: F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1.
Input: 3
Output: 2
Explanation: F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2.

递归方法

常规解法是使用递归方法。递归规则就是问题描述的第二行，边界条件就是第一行。使用Python解题代码如下：

def fib(self, N):
	# 递归规则
    if N>1:
        return self.fib(N-2)+self.fib(N-1)
    # 边界条件
    else:
        return N

问题分析：可以看到上面的方法时间效率并不高。分析下上面这个算法的时间复杂度。要计算F(n)，需要计算到F(n-1)和F(n-2)。而要计算F(n-1)需要计算到F(n-2)和F(n-3)。以此类推，可以表示为下面的图

这就是一颗二叉树，树的节点个数就是需要计算的次数，树的层数就是N。可以看到时间复杂度正比于节点的个数（ $2^N$ ）。所以时间复杂度为 $O(2^N)$

备忘录方法

可以看到上面的算法存在一个问题：相当多的元素被重复计算。

相同的颜色表示被重复计算的次数。备忘录算法就是将重复的值存入缓存中，对于相同的值就直接在缓存中读取，不同的值存入缓存中去。这样就避免了重复计算。Python代码如下：

def fib(self, N):
    array =[i for i in range(N+1)] #初始赋值 0 1 
    return self.fibola(array, N)

def fibola(self, array, N):
    if N <= 1:
        return N
    array[N] = self.fibola(array, N-1) + array[N-2] 
    # 这里的array数组就是一个全局变量 array[N-2]会在递归计算array[N-1]时给出
    return array[N]

上面这个算法的时间复杂度为O(n),避免了重复计算。空间复杂度为O(n).。

动态规划

上面的方法还需要额外的空间。下面介绍动态规划方法。F(3)只依赖于F(1)和F(2),F(4)只依赖于F(3)和F(2)。同理在后面的迭代中，自底向上的方法只需要保存前两个状态，而不需要保存之前所有的状态。python代码如下：

    def fib(self, N):
        """
        :type N: int
        :rtype: int
        """
        if N<=1:
            return N
        a = 0     # 初始化
        b = 1
        temp = 0
        for i in range(1,N):   
            temp = a + b
            a = b        # 前面第2个状态
            b = temp     # 前面第1个状态
        return temp