彻底理解卷积

要想彻底理解卷积，看数学公式是少不了的，卷积本身就是一种数学运算

1.卷积的简要说明

• 卷积可以认为是一种运算，就好比加减乘除乘方开方等。若有可积函数$f(x),g(x)$且$x\in \mathbb{R}$，他们的卷积记作$(f\ast g)(x)$
• 维基百科中关于卷积的说明：

卷积（又称叠积（convolution）、褶积或旋积），是透过两个函数 f 和 g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数 f 与经过翻转和平移的 g 的乘积函数所围成的曲边梯形的面积。

2.卷积的定义

• （1元）卷积运算的定义式

$$(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )g(x-\tau )d\tau$$

• 多元卷积的定义式
  $$(f\ast g)(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\int \int \cdots \int f({\tau }_1,{\tau }_2,\cdots ,{\tau }_n)g(x_1-{\tau }_1,x_2-{\tau }_2,\cdots ,x_n-{\tau }_n)d{\tau }_{1}d{\tau }_2\cdots d{\tau }_n$$

• 对于定义在整数集$\mathbb{Z}$的函数$f$和$g$，那么积分运算会退化为累加运算
  $$\begin{gathered} (f\ast g)[x]=\sum _{-\infty }^{+\infty }f(\tau )g(x-\tau ) \\ (f\ast g)[x_1,x_2,\cdots ,x_n]=\sum _{{\tau }_1=-\infty }^{+\infty }\sum _{{\tau }_2=-\infty }^{+\infty }\cdots \sum _{{\tau }_3=-\infty }^{+\infty }f[{\tau }_1,{\tau }_2,\cdots ,{\tau }_n]g[x_1-{\tau }_1,x_2-{\tau }_2,\cdots ,x_n-{\tau }_n] \end{gathered}$$

3.图像处理中的卷积

以单色图像为例，通常对图像进行卷积是指对图像中的所有像素做卷积运算
$$(f\ast g)[x,y]=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }\sum _{n=-\infty }^{+\infty }f[m,n]g[x-m,y-n]$$

• 对单色点阵图像中的某一像素$g[x,y]$进行的卷积运算为2元离散卷积。
• $f[m,n]$又称为卷积核、特征图（Feature Map）（实际上也是一个矩阵）
• 如果是彩色图像，则可以转化为三元离散卷积，或者进行3次二元卷积（对于3个颜色通道的图像）