利用前缀异或和解决区间异或查询问题

利用前缀异或和解决区间异或查询问题

在许多算法题中，我们需要频繁地计算数组区间的某些统计信息。一个常见的技巧是使用 前缀和。在这篇博客中，我们将讨论如何使用 前缀异或和 来高效解决区间异或查询问题。

问题描述

给定一个整数数组 arr 和一系列查询，查询的目标是计算数组中某个区间的异或值。具体来说，给定多个区间 [l, r]，对于每个查询，要求计算 arr[l] ^ arr[l+1] ^ ... ^ arr[r] 的值。

示例

输入:

arr = [1, 3, 4, 8]
queries = [[0, 1], [1, 2], [0, 3], [3, 3]]

输出:

[2, 7, 14, 8]

解释:

• 第一个查询 [0, 1] 的异或值是 arr[0] ^ arr[1] = 1 ^ 3 = 2。
• 第二个查询 [1, 2] 的异或值是 arr[1] ^ arr[2] = 3 ^ 4 = 7。
• 第三个查询 [0, 3] 的异或值是 arr[0] ^ arr[1] ^ arr[2] ^ arr[3] = 1 ^ 3 ^ 4 ^ 8 = 14。
• 第四个查询 [3, 3] 的异或值是 arr[3] = 8。

基础概念：异或

异或（XOR）是一种非常特殊的运算，其有以下几个基本性质：

1. 交换律: a ^ b = b ^ a
2. 结合律: (a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)
3. 自反性: a ^ a = 0
4. 0 与任何数的异或结果为该数: a ^ 0 = a

前缀异或和

前缀和（Prefix Sum）是一个非常常见的技巧，常用于高效求解区间和问题。通过计算从 arr[0] 到 arr[i] 的前缀和，我们可以在常数时间内得到任意区间的和。

同理，前缀异或和 也是类似的思想。我们构建一个数组 pre，其中 pre[i] 表示 arr[0] ^ arr[1] ^ ... ^ arr[i-1] 的异或值。然后，我们可以用以下公式高效计算任意区间 [l, r] 的异或值：

• arr[l] ^ arr[l+1] ^ ... ^ arr[r] = pre[r+1] ^ pre[l]

代码实现

class Solution:
    def xorQueries(self, arr: List[int], queries: List[List[int]]) -> List[int]:
        # Step 1: 构造前缀异或和
        n = len(arr)
        pre = [0] * (n + 1)
        for i in range(1, n + 1):
            pre[i] = pre[i - 1] ^ arr[i - 1]
        
        res = []
        # Step 2: 计算每个查询结果
        for query in queries:
            l, r = query
            res.append(pre[r + 1] ^ pre[l])
        
        return res

代码解析

1. 构建前缀异或数组：

   • 创建一个 pre 数组，其中 pre[i] 代表数组 arr 中从 arr[0] 到 arr[i-1] 的异或值。
   • 我们通过循环填充 pre 数组，利用异或的性质：pre[i] = pre[i-1] ^ arr[i-1]。

2. 计算查询结果：

   • 对于每个查询 [l, r]，我们可以通过 pre[r+1] ^ pre[l] 来快速获得区间 [l, r] 的异或值。
   • 由于 pre[i] 存储的是 arr[0] 到 arr[i-1] 的异或结果，pre[r+1] ^ pre[l] 就可以得到 arr[l] 到 arr[r] 的异或值。

时间复杂度

• 构建前缀异或和数组 pre 的时间复杂度是 O(n)，其中 n 是数组 arr 的长度。
• 对于每个查询，计算结果的时间复杂度是 O(1)，因为我们只需要通过常数次异或操作即可得到区间的异或值。
• 总的时间复杂度是 O(n + m)，其中 n 是数组的长度，m 是查询的数量。

优势

1. 高效性：
   通过前缀异或和，我们将区间异或查询的时间复杂度从 O(n) 降低到 O(1)，显著提高了查询效率。

2. 简洁：
   代码非常简洁，利用了异或的性质和前缀和的思想，避免了冗余的计算。

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总结

通过前缀异或和技巧，我们可以高效地解决区间异或查询问题。前缀异或和不仅能够加速查询过程，还能应用于其他类似的问题，值得在处理数组区间问题时进行考虑。

class Solution:
    def xorQueries(self, arr: List[int], queries: List[List[int]]) -> List[int]:
        # Step 1: 构造前缀异或和
        n=len(arr)
        pre=[0]*(n+1)
        for i in range(1,n+1):
            pre[i]=pre[i-1]^arr[i-1]
        res=[]
        # Step 2: 计算每个查询结果
        for query in queries:
            res.append(pre[query[1]+1]^pre[query[0]])
        return res

            # 利用前缀异或和计算区间 [l, r] 的异或值

这道题类似于构建前缀和，这里可以用的是异或前缀和
注意我们l,r都是闭区间，异或的性质是相同 的值进行异或不变，而我们pre[l]代表的是前l-1坐标之前的所有值进行异或 pre[r+1]代表的是前r的进行异或 两者再进行异或就可以得到l,r闭区间的异或值