浅说连续区间异或和

前言：
本文的讨论范围仅限于自然数集；
本文中，记$f(x,y)$为区间$[x,y]$的异或和。

准备·其一

首先，让我们观察如下的一些示例

1 = 2-1
[0, 0] 00
[1, 1] 01

3 = 4-1
[0, 1] 00 01
[2, 3] 10 11

7 = 8-1
[0, 3] 000 001 010 011
[4, 7] 100 101 110 111

15 = 16-1
[0,  7] 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
[8, 16] 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

想必诸君不难看出，对于$2^k-1(k\ge 2)$，将其二分，于其二进制，可发现某种对称性。

显然，有

$$f(0,2^{k-1}-1)=f(2^{k-1},2^k-1)(k\ge 2)\text{\hspace{1em}(1)}$$
不过，上述式子对于 $2^1$并不成立。

有意思的是，
$$\{\begin{array}{l}f(0,2^{k-1}-1)=f(2^{k-1},2^k-1)=1(k=2)\\ f(0,2^{k-1}-1)=f(2^{k-1},2^k-1)=0(k>2)\end{array}$$
各位可在阅读结束后再回看此处，这对于后文并无实质性帮助。

让我们先忽略这个特例，那么由$(1)$式，我们可证一个对后文证明有利的式子，即

$$f(0,2^k)=2^k(k\ge 2)\text{\hspace{1em}(2)}$$
前式等价于
$$f(0,2^k-1)=0(k\ge 2)\text{\hspace{1em}(2*)}$$
这是因为$f(0,2^k)=f(0,2^k-$