相机标定实践2-参数优化

相机标定
参数优化
1.生成标定板
2.拍摄标定板照片10~20张
3.识别每张照片中标定板角点
4.获取每张照片中标定板角点的像素坐标uv和世界坐标xy
5.计算每张照片的单应性矩阵Hi
6.构造每张照片的Vi，构建V=[V1;V2;…Vi…]
7.svd分解V，求解B和内参矩阵A和尺度因子s

[u, s, v]=svd(V);
 b=v(:,6);
     v0=(b(2)*b(4)-b(1)*b(5))/(b(1)*b(3)-b(2)^2);
    s=b(6)-(b(4)^2+v0*(b(2)*b(4)-b(1)*b(5)))/b(1);
    alpha_u=sqrt(s/b(1));
    alpha_v=sqrt(s*b(1)/(b(1)*b(3)-b(2)^2));
    skewness=-b(2)*alpha_u*alpha_u*alpha_v/s;
    u0=skewness*v0/alpha_u-b(4)*alpha_u*alpha_u/s;
    A=[alpha_u skewness u0
        0      alpha_v  v0
        0      0        1]

8.每张照片使用同一个A，然后优化各自的外参R,T
实际情况下，数据中是存在噪音的，所以计算得到的旋转矩阵R并不一定能满足旋转矩阵的性质。所以通常根据奇异值分解来得到旋转矩阵R。

上述的推导结果是基于理想情况下的解，从理论上证明了张氏标定算法的可行性。但在实际标定过程中，一般使用最大似然估计进行优化。假设我们拍摄了n张标定图片，每张图片里有m个棋盘格角点。三维空间点X在图片上对应的二维像素为x，三维空间点经过相机内参M，外参R，t变换后得到的二维像素为x’，假设噪声是独立同分布的，我们通过最小化x, x’的位置来求解上述最大似然估计问题：

现在我们来考虑透镜畸变的影响，由于径向畸变的影响相对较明显，所以主要考虑径向畸变参数，根据经验，通常只考虑径向畸变的前两个参数k1,k2就可以（增加更多的参数会使得模型变的复杂且不稳定）。实际求解中，通常把k1,k2也作为参数加入上述函数一起进行优化，待优化函数如下所示

上述非线性优化问题通常用Levenberg-Marquardt（LM）算法进行迭代求解。一般将k1,k2初值设为0。