最长上升子序列

最长上升子序列

题意：给定N个整数，请你求出最长上升子序列的个数
思路：设dp[ i ] 表示以$a_i$为终点的最长上升子序列的长度
$$dp[i]=max(dp[j],1\le j<i且a_j<a_i)$$

时间复杂度：O($n^2$)

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#define rep(i,a,b) for (int i=a; i<=b; ++i)
#define mes(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int maxn=1000+5,INF=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;

int n,a[maxn],dp[maxn];

int main()
{
	cin>>n;
	rep(i,1,n)
		cin>>a[i];
	
	rep(i,1,n)
		dp[i]=1;
	
	for(int i=2;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<i;++j)
			if(a[j]<a[i])
				dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
	
	cout<<*max_element(dp+1,dp+1+n)<<endl;
	return 0;
}

P1020 导弹拦截

题意：求最长不上升子序列长度和最长上升子序列的长度
思路：贪心+二分。
方法：求最长不上升子序列的时候，我们维护下个类似单调栈 的非降序列（可以取等于）。遍历a数组，当$stack[top]>=a[i]$时，直接入栈，如果$stack[top]<a[i]$那么就在stack中找到第一个小于$a[i]$的数，换成$a[i]$。求最长上升子序列的时候也是同样的方法
分析：
1、 为什么是求最长上升子序列呢？
每一个导弹最终的结果都是要被打的，如果它后面有一个比它高的导弹，那打它的这个装置无论如何也不能打那个导弹了，也就是说最少要打最长上升子序列长度那么多次可以打完！
2、为什么这样贪心是正确的？
假设被替换的数x位于末尾，那么被换成更大的a[i]之后，在a[i]后面就可以接更长的子序列。假如被替换的x位于中间，那么把它替换成更大的数a[i]也是对答案无影响的。但是如果不替换，是会出错的。假设有一种情况是将原本的序列从当前x开始替换，一直换到序列末尾。那么这个新的序列会有更高的上限（序列的最后一个元素更大了 ），这样也就可以接更长的子序列了

	其实对于下降序列来说，就是想维护一个下降更平缓的序列（最后一个元素越大序列越长）。对于求上升子序列的操作，就是为了维护一个上升更慢的序列（最后一个元素越小序列越长）

时间复杂度：$O(nlogn)$

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#define rep(i,a,b) for (int i=a; i<=b; ++i)
#define per(i,b,a) for (int i=b; i>=a; --i)
#define mes(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
#define mp make_pair
#define ll long long
#define pb push_back
#define ls (rt<<1)
#define rs ((rt<<1)|1)
#define isZero(d)  (abs(d) < 1e-8)
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,INF=0x3f3f3f3f;

int a[maxn];
int stack1[maxn],stack2[maxn];

int main()
{
	int n=1;
	while(cin>>a[n])
		n++;
	n--;
	int top1=1,top2=1;
	stack1[1]=stack2[1]=a[1];
	rep(i,2,n)
	{
		if(stack1[top1]>=a[i])
			stack1[++top1]=a[i];
		else
		{
			int p=upper_bound(stack1+1,stack1+1+top1,a[i],greater<int>())-stack1;
			stack1[p]=a[i];
		}
		
		if(stack2[top2]<a[i])
			stack2[++top2]=a[i];
		else
		{
			int p=lower_bound(stack2+1,stack2+1+top2,a[i])-stack2;
			stack2[p]=a[i];
		}
	}
	cout<<top1<<"\n"<<top2<<"\n";
	return 0;
}