Educational Codeforces Round 81 (Rated for Div. 2) Jan/29/2020 22:35UTC+8

最新推荐文章于 2022-10-21 10:36:00 发布

Cheng Yu

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分类专栏： CF比赛

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_17080419/article/details/106319324

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Educational Codeforces Round 81 Rated for Div. 2

B. Infinite Prefixes（前缀和）
C. Obtain The String（预处理）
D. Same GCDs

比赛链接 https://codeforces.com/contest/1295
比赛记录 https://blog.youkuaiyun.com/cheng__yu_/article/details/105395197

B. Infinite Prefixes（前缀和）

在这里插入图片描述
链接：https://codeforces.com/contest/1295/problem/B

题意：给定一个长度为 n 的 01 串 s ，可以无限叠加。给定一个 x ，问 $cnt_{0,i}-cnt_{1,i}=x$ 的位置个数。 $cnt_{0,i}$ 表示 $[1, i]$ 中 0 的个数。 $cnt_{1,i}$ 表示 $[1, i]$ 中 1 的个数。如果有无限个位置相等，输出 -1 ，否则输出个数。（注意空串也算一个）

思路：

首先想到一个串的累加量，也就是 pref[n] 。
如果累加量为 0，那么如果出现和 x 相等的 pref[i] ，那么就会出现无限个相等的位置。
如果累加量不为 0 ，那么 $x$ 和位置 $i$ 的值 $p r e f [i]$ 必须相隔了正整数个 $p r e f [n]$ ，才能不断累加从 $p r e f [i]$ 变成 $x$ 。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
int t,n,x;
int a[maxn],pref[maxn];
string s;
int main()
{
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>x>>s;
        s="0"+s;
        for(int i=1; i<=n; ++i)
            pref[i]=pref[i-1]+(s[i]=='1'?-1:1);
        if(pref[n]==0)
        {
            bool ok=1;
            for(int i=1; i<=n; ++i)
                if(pref[i]==x) ok=0;
            puts(ok?"0":"-1");
        }
        else
        {
            int cnt=0;
            if(x==0) cnt++;
            for(int i=1; i<=n; ++i)
                if((x-pref[i])%pref[n]==0&&(x-pref[i])/pref[n]>=0) cnt++;
            printf("%d\n",cnt);
        }
    }
    return 0;
}

C. Obtain The String（预处理）

在这里插入图片描述
题意：给定字符串 s 和 t 。问从 s 中选取子序列构造成 t 需要几次

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,maxm=1e5+5;
const int mod=998244353,inf=0x7f7f7f7f;

int tt;
string s,t;
int nxt[maxn][30];

int main()
{
    cin>>tt;
    while(tt--)
    {
        cin>>s>>t;
        int n=s.size(),m=t.size();
        s="0"+s,t="0"+t;
        for(int j=1;j<=26;++j)
            nxt[n][j]=-1;
        for(int i=n-1;i>=0;--i)
        {
            for(int j=1;j<=26;++j)
                nxt[i][j]=nxt[i+1][j];
            int x=s[i+1]-'a'+1;
            nxt[i][x]=i+1;
        }

        int ans=1,pos=0;
        bool ok=true;
        for(int i=0;i<m;++i)
        {
            int x=t[i+1]-'a'+1;
            if(nxt[pos][x]!=-1)
                pos=nxt[pos][x];
            else
            {
                ans++;
                pos=0;
                if(nxt[pos][x]==-1)
                {
                    ok=false;
                    break;
                }
                pos=nxt[pos][x];
            }
        }
        if(ok)
            printf("%d\n",ans);
        else
            puts("-1");
    }
    return 0;
}

D. Same GCDs

在这里插入图片描述

链接：https://codeforces.com/contest/1295/problem/D

题意：给定 a、m ，计算 $\sum_{x=1}^{m-1} [gcd(a,m)=gcd(a+x,m)]$ 。 $(1\le a < \le m \le 10^{10})$

思路：

$\sum_{x=0}^{m-1} [gcd(a,m)=gcd(a+x,m)]$

根据更相减损法有
$\sum_{x=0}^{m-1} [gcd(a,m)=gcd((a+x) mod~ m,m)]$

这里相当于平移了一下

$\sum_{i=0}^{m-1} [gcd(a,m)=gcd(i,m)]$

设 $d = g c d (a, m)$

$\sum_{i=0}^{m-1} [gcd(i,m)=d]$

这里发现 i 、m 是在枚举 d 的倍数，因此化简为：

$\sum_{i=1}^{ \lfloor \frac {m-1}d \rfloor} [gcd(i,\frac md)=1]$

因此这个式子就相当于 $\varphi (\frac md)$

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
int t;
ll a,m;
int main()
{
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>a>>m;
        ll d=__gcd(a,m);
        ll n=m/d;
        ll ans=n;
        for(ll i=2; i*i<=n; ++i)
        {
            if(n%i==0)
            {
                ans=ans/i*(i-1);
                while(n%i==0) n/=i;
            }
        }
        if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
        cout<<ans<<"\n";
    }
    return 0;
}