本文深入探讨了拉格朗日对偶性在约束优化问题中的作用，特别是在支持向量机（SVM）中的应用。通过拉格朗日函数，将有约束的最优化问题转化为无约束问题，简化了求解过程。介绍了原始问题与对偶问题的关系，以及在满足特定条件（如KKT条件）下，原始问题与对偶问题解的等价性。对偶问题的求解在某些情况下可替代原始问题，提供了解决复杂优化问题的新途径。
拉格朗日函数有什么用？
在约束最优化问题中，常常利用拉格朗日对偶性将原始问题转换为对偶问题，通过解对偶问题而得到原始问题的解。
原始问题：
假设f(x),Ci(x),hj(x)f(x),C_i(x),h_j(x)f(x),Ci(x),hj(x)是定义在RnR^nRn上的连续可微函数，考虑约束最优化问题：
minf(x)，x∈Rnminf(x)，x∈R^nminf(x)，x∈Rn
s.t.ci(x)≤0,i=1,2……ks.t.c_i(x)≤0,i=1,2……ks.t.ci(x)≤0,i=1,2……k
hj(x)=0,j=1,2……lh_j(x)=0,j=1,2……lhj(x)=0,j=1,2……l
称为约束最优化问题的原始问题。
现在如果不考虑约束条件，原始问题就是：minf(x)，x∈Rnminf(x)，x∈R^nminf(x)，x∈Rn因为f(x)f(x)f(x)是连续可微分的，对f(x)f(x)f(x)求导数，然后令f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0，就可以求出最优解。
但是现在是有约束的，求解f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0的解有可能是不在定义域的，所以需要想办法将有约束优化问题转换为无约束最优化问题。
广义的拉格朗日函数可以将有约束最优化转换为无约束最优化问题。
广义的拉格朗日函数：
L(x,α,β)=f(x)+∑i=0kαici(x)+∑j=1lβjhj(x)L(x,α,β)=f(x)+\displaystyle\sum_{i=0}^{k}α_ic_i(x)+\displaystyle\sum_{j=1}^{l}β_jh_j(x)L(x,α,β)=f(x)+i=0∑kαici(x)+j=1∑lβjhj(x)
其中x=(x(1)，x(2)，……x(n)),αi,βjx=(x^{(1)}，x^{(2)}，……x^{(n)}),α_i,β_jx=(x(1)，x(2)，……x(n)</
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