洛谷 P4015 运输问题题解

最新推荐文章于 2023-04-13 18:30:00 发布

原创最新推荐文章于 2023-04-13 18:30:00 发布 · 309 阅读

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本文深入解析费用流算法在解决货物运输问题中的应用。针对供需平衡场景，介绍如何建立模型，连接源点、仓库、商店及汇点，实现最小成本的货物配送方案。通过具体代码实现，展示算法细节。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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题目大意

$W$ 公司有 $m$ 个仓库和 $n$ 个零售商店。第 $i$ 个仓库有 $a_i$ 个单位的货物；第 $j$ 个零售商店需要 $b_j$ 个单位的货物。

货物供需平衡.

从第 $i$ 个仓库运送每单位货物到第 $j$ 个零售商店的费用为 $c_{ij}$ 。

试设计一个将仓库中所有货物运送到零售商店的运输方案，使总运输费用最少。

题解

费用流模板题。

建源点和汇点连边。

源点向每个仓库 $i$ 连边，流量为仓库 $i$ 的货物数量，费用为 $0$ .
每个商店 $j$ 向汇点连边，流量为商店 $j$ 的需求量，费用为 $0$ .

以上两种边的目的都是限制流量，同时因为货物供需平衡，最后一定能全部满足。

最后每个仓库 $i$ 向商店 $j$ 连边，流量为 $i n f$ ，费用为 $c_{ij}$ . 如果这种边通过流量，那么就说明仓库 $i$ 运送了货物到商店 $j$ .

最后跑费用流就好了。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;

const int maxn=105;
const int maxm=1000005;
const int inf=0x7f7f7f7f;
const long long linf=1e18;

struct node
{
	int to,next,flow;
	long long cost;
} edge[maxm<<1];

bool vis[maxn<<2];
int head[maxn<<2],k,s,t;
long long dist[maxn<<2],tot_cost;

void add(int u,int v,int w,long long c)
{
	edge[++k].to=v;
	edge[k].next=head[u];
	head[u]=k;
	edge[k].flow=w;
	edge[k].cost=c;
	swap(u,v);
	edge[++k].to=v;
	edge[k].next=head[u];
	head[u]=k;
	edge[k].flow=0;
	edge[k].cost=-c;
}
bool spfa()
{
	for(int i=0;i<=t;i++) dist[i]=linf;
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	queue<int> q;dist[t]=0;q.push(t);
	while(!q.empty())
	{
		int x=q.front();q.pop();vis[x]=false;
		for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
		{
			if(dist[edge[i].to]>dist[x]-edge[i].cost&&edge[i^1].flow)
			{
				dist[edge[i].to]=dist[x]-edge[i].cost;
				if(!vis[edge[i].to])
				{
					vis[edge[i].to]=true;
					q.push(edge[i].to);
				}
			}
		}
	}
	return dist[s]!=linf;
}
int dfs(int x,int f)
{
	vis[x]=true;
	if(x==t||!f) return f;
	int flow=0;
	for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
	{
		if(vis[edge[i].to]) continue;
		if(dist[edge[i].to]==dist[x]-edge[i].cost&&edge[i].flow)
		{
			int temp=dfs(edge[i].to,min(f-flow,edge[i].flow));
			edge[i].flow-=temp;
			edge[i^1].flow+=temp;
			flow+=temp;
			tot_cost+=(long long)temp*edge[i].cost;
			if(f==flow) break;
		}
	}
	return flow;
}
void zkw()
{
	tot_cost=0;
	while(spfa())
	{
		vis[t]=true;
		while(vis[t])
		{
			memset(vis,false,sizeof(vis));
			dfs(s,inf);
		}
	}
	if(tot_cost>=0) printf("%lld\n",tot_cost);
	else printf("%lld\n",-tot_cost);
}
int n,m,a[maxn],b[maxn],cost[maxn][maxn];

int main()
{
	#ifdef lemon
	freopen("4015.txt","r",stdin);
	#endif
	scanf("%d%d",&m,&n);s=0;t=m+n+1;k=1;
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
	//1-n store
	//n+1-m repo
	//0 source
	//n+m+1
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			scanf("%d",&cost[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;i++) add(i,t,b[i],0);
	for(int i=1;i<=m;i++) add(s,i+n,a[i],0);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			add(i+n,j,inf,cost[i][j]);
	zkw();
	memset(head,0,sizeof(head));k=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) add(i,t,b[i],0);
	for(int i=1;i<=m;i++) add(s,i+n,a[i],0);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			add(i+n,j,inf,-cost[i][j]);
	zkw();
	return 0;
}