通俗的理解PCA怎么实现降维的？

最新推荐文章于 2025-06-28 20:22:28 发布

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文章标签： PCA

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_16446137/article/details/88854554

本文详细介绍了PCA主成分分析的基本思想，强调了基的选择对于分析的重要性，并解释了如何通过最大化方差来选取主成分。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

	PCA主成分分析，基本思想是利用基的概念，基一定要保证不相关，所以在向量上体现即为协方差为0，在基上的投影效果越分散越好，数学上即为方差大，所以pca选择方差最大的K个为主成分，这里的方差最大的K个即为特征值最大的K个，意义是一样的。

上面的这句话可能大家觉得乱七八糟，所以对上面的出现过的词进行逐一解释
1.基的概念
在坐标系中我们知道，x轴y轴其实就是一组基，（0，1）、（1，0），任意的点(x,y)即为（x,y）=x(1,0)+y(0,1),x,y其实就是任一点在基上的投影

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一文速学数模-降维模型(一)PCA（主成分分析法）原理以及应用+代码实现

master_hunter的博客

03-05

4万+

前言 PCA多用于对数据特征集进行降维，也方便对数据集进行可视化操作，说白了最后进行结果展示那么多特征向量要一起表示的话肯定很难展示，超过三维的数据就很难展示了。而PCA可对特征集进行简化，通俗的来讲也就是合并好理解。PCA应用的范围很广因此很有必要要学习，原理肯定还是数学证明，在特征工程上经常使用。希望读者看完能够提出错误或者看法，博主会长期维护博客做及时更新。纯分享，希望大家喜欢。一、为什么需要PCA？（为什么要降维）在各个领域进行数据收集或是数据采样时往往都是存在多个指标或是特征...

《机器学习》—— PCA降维

weixin_73504499的博客

09-05

2842

一、PCA降维简单介绍、二、python中实现PCA降维函数的介绍、三、代码实现、四、PCA降维的优缺点

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PCA具体是如何降维的

wildv的专栏

12-06

2565

一直没有搞清楚，PCA降维到底如何降维，参看了很多文章，如下是比较有用的文章链接： 1.http://apps.hi.baidu.com/share/detail/48483969 2.http://blog.youkuaiyun.com/royalvane/article/details/6864271 3.http://blog.sina.com.cn/s/blog_6bc8a3ed0100zy0l

基于主成分分析（PCA）的数据降维

fefdfg的博客

05-12

702

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种用于数据降维的方法，其核心目标是在尽可能保留原始数据信息的前提下，将高维数据映射到低维空间。该算法基于方差最大化理论，通过寻找数据的主要变化方向（即主成分），将原始数据投影到这些方向上，从而实现降维。

主成分分析（PCA）降维

m0_62501000的博客

12-31

8500

在机器学习和数据分析领域，主成分分析（PCA）是一种常用的降维技术，旨在减少数据维度并保留主要信息。通过将高维数据映射到低维空间，PCA使得数据更易于可视化、理解和处理。本文将深入探讨PCA的原理、应用和实现。通过去除冗余信息，减少数据的维度，提高计算效率和模型训练速度。选择主成分相当于选择了原始特征中最具代表性的信息，有助于提取关键特征。PCA可以帮助去除数据中的噪音，提高模型的鲁棒性。PCA基于线性变换，可能无法很好地处理非线性关系。对异常值敏感，可能受到极端值的影响。

PCA降维算法

qq_53086801的博客

09-18

3316

PCA降维算法

PCA 降维

troysps的博客

06-20

563

PCA 简化数据通俗理解: 找出一个最主要的特征进行分析例子: 考察一个人的智力情况直接看数学成绩就行例子: 观看电视将显示器的百万像素转化为一个三维图像重点: 降维技术主成分分析(PCA) 对半导体数据进行降维处理降维技术 1.数据集更容易使用 2.降低算法的计算开销 3.去除噪声 4.使得结果易懂 ---(有利于可视化) 几种不...

PCA降维算法总结以及matlab实现PCA(个人的一点理解)

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天涯雨的博客

06-28

572

机器学习算法：PCA降维算法；PCA（主成分分析）

PCA———降维方法详解

watermel__的博客

03-19

200

一篇非常好的PCA讲解文章转载于【机器学习】降维——PCA（非常详细） - 阿泽的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/77151308

PCA降维处理

jdjhcn的博客

04-12

978

一、定义PCA 是一种无监督学习的降维技术，通过线性变换将高维数据映射到低维空间（主成分），同时尽可能保留原始数据的关键信息（方差）。其核心是找到一组正交的主成分，使得数据在这些方向上的方差最大化，从而用更少的维度替代原始高维特征。降维：维度是指数据的特征数量又叫做数据的维度，减少数据的特征就是数据降维最理想的降维效果：减少数据维度的同时能较好地代表原始数据。基是由任何两个线性无关的二维向量都可以成为一组基。

机器学习算法 | PCA（主成分分析）降维算法

yuanCruise

06-27

3299

一：PCA算法目的根据样本矩阵X={x1，x2,…, Xm}，以及当前样本空间中样本个数N，求得样本协方差矩阵XXT，中的最大的K个特征向量，并且利用这K个特征向量组成的矩阵进行低纬度降维，实现数据的主成分分析。二：PCA降维的整体步骤（1）对原始数据减去平均值，实现去中心化。（2）求出样本空间中N个样本的样本协方差矩阵（XXT）。（3）利用SVD奇异值分解（适用于任意矩阵）或特征值分解（只适用于方阵）对样本协方差矩阵进行特征向量，特征值的分解。（4）对特征值进行降序排列，选出最大的K个，并

PCA降维的原理及实现

Twilight's Blog

11-03

1805

PCA可以将数据从原来的向量空间映射到新的空间中。由于每次选择的都是方差最大的方向,所以往往经过前几个维度的划分后，之后的数据排列都非常紧密了，我们可以舍弃这些维度从而实现降维原理内积两个向量的乘积满足:ab=∣a∣⋅∣b∣⋅cos(θ)ab= |a|\cdot |b|\cdot cos(\theta)ab=∣a∣⋅∣b∣⋅cos(θ).如果∣b∣=1|b|=1∣b∣=1的话,ab=∣a...

降维算法之PCA：从原理到应用，8000多字，助你彻底理解！

ZuHaohua的博客

06-20

2万+

本文首先使用数形结合介绍了PCA的原理，推导了PCA的公式；之后介绍了实现PCA算法的两种具体方式；最后使用sklearn库应用了PCA对图像数据进行降维。

通俗理解PCA降维原理

feng__shuai的博客

07-25

1734

数学来到这个世界上是为了服务其他学科，所以PCA算法不是先天存在的，下面就从实际需求来推导出pca的原理。背景：下面有个组淘宝数据顾客编号性别身高/cm 电子产品美妆 1 1 175 100 5 2 1 178 98 3 3 0 160 50 16 4 0 16...

不懂PCA？一个小实例带你了解PCA降维

AI_dataloads的博客

10-08

1752

每一个数据以此减去均值，得到零均值化数据（-1，-1，0，2，0）每一个数据以此减去均值，得到零均值化数据（-2，0，0，1，1）前面得到去均值化的X矩阵，利用公式，求得协方差矩阵。第一行均值：（1+1+2+4+2）/ 5 = 2。第二行均值：（1+3+3+4+4）/ 5 = 3。2无法解释降维后的数据是什么。3贡献率小的成分有可能更重要。Y=PX即为降维到k维后的数据。1.计算方法简单，容易实现。2可以减少指标筛选的工作量。3消除变量间的多重共线性。1.特征必须是连续型变量。也就是减去这一行的均值。

PCA降维矩阵计算讲解

03-26

<think>好的，我现在需要回答用户关于PCA降维中矩阵计算原理的问题。用户希望了解相关的知识或教程，我需要结合提供的引用内容，特别是引用1、3、4中的信息来构建回答。首先，我应该回顾PCA的基本概念，说明它是一种通过线性变换将高维数据投影到低维空间的方法，保留最大方差。然后，需要详细讲解矩阵计算的步骤，可能包括协方差矩阵的计算、特征分解、选择主成分等部分。引用1提到了协方差矩阵的计算公式，用户提供的示例代码中也有协方差矩阵的部分。这部分需要详细解释，说明协方差矩阵的作用以及如何计算。比如，协方差矩阵Cov是m行m列，其中m是特征数，这一步是PCA的关键，因为它反映了特征之间的相关性。接下来，引用3讨论了矩阵相乘的意义，即线性变换，这可以用于解释投影到新的特征空间的过程。在PCA中，特征向量组成的矩阵就是用来进行这种变换的，将原始数据转换到主成分空间。我需要将这一点与选择主成分的步骤结合起来，说明如何通过特征向量进行数据变换。引用4中的代码展示了如何对特征值排序并选择前N个特征向量，然后通过矩阵相乘实现降维。这部分可以作为实际操作的例子，说明如何将理论应用到实践中。例如，特征值排序后选择最大的几个，对应的特征向量组成投影矩阵，然后数据矩阵与该矩阵相乘得到降维后的数据。需要注意的是，用户提供的引用中有一些代码片段，如sklearn的PCA实现，但用户的问题更关注矩阵计算的原理，所以可能需要侧重于数学推导，而不仅仅是代码应用。不过，结合代码示例可以帮助用户理解理论如何被应用。另外，用户可能对协方差矩阵的特征分解不太清楚，需要解释为什么特征向量能作为主成分，以及特征值的大小代表什么（方差的大小）。这部分需要结合线性代数的知识，但要用通俗易懂的中文表达。可能还需要涉及数据标准化的步骤，因为PCA通常要求数据标准化处理，确保每个特征的均值为0，方差为1，这在引用4中的代码中可能有所体现（X_train_std可能是标准化后的数据）。最后，总结整个流程，从数据预处理到协方差矩阵计算、特征分解、选择主成分、数据投影，每一步都涉及矩阵运算，需要将各个步骤串联起来，形成一个完整的逻辑链条。在生成相关问题的时候，可以根据用户可能进一步想了解的内容，如协方差矩阵的具体计算例子、特征向量的几何意义、如何选择主成分的数量，或者与其他降维方法的对比等来设计问题。</think>### PCA降维的矩阵计算原理详解主成分分析（PCA）通过线性变换将高维数据投影到低维空间，其核心是**协方差矩阵的特征分解**。以下是关键步骤的矩阵运算原理： --- #### 1. 数据标准化对原始数据矩阵$X$（$n$个样本，$m$个特征）进行标准化，使每个特征均值为0，方差为1： $$X_{\text{std}} = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 其中$\mu$为均值向量，$\sigma$为标准差向量[^4]。 --- #### 2. 计算协方差矩阵标准化后的数据$X_0$的协方差矩阵为： $$Cov = \frac{1}{n-1}X_0^T \cdot X_0$$ 协方差矩阵是$m \times m$的对称矩阵，反映特征间的相关性[^1]。 --- #### 3. 特征值分解对协方差矩阵$Cov$进行特征分解： $$Cov \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i$$ 其中$\lambda_i$为特征值（代表主成分方差），$v_i$为对应的特征向量（代表主成分方向）。 --- #### 4. 选择主成分按特征值从大到小排序，选择前$k$个特征值对应的特征向量，组成投影矩阵$W$： $$W = [v_1, v_2, ..., v_k]$$ 此时$W$的维度为$m \times k$[^4]。 --- #### 5. 数据投影将标准化后的数据$X_0$与投影矩阵$W$相乘，得到降维后的数据$Y$： $$Y = X_0 \cdot W$$ 该操作将原始数据从$m$维空间映射到$k$维空间[^3]。 --- #### 几何意义矩阵乘法$X_0 \cdot W$的本质是：**以特征向量为基向量，重构数据在新坐标系中的坐标**。每个新维度（主成分）都是原始特征的线性组合，且方向正交。 --- ### 示例代码解析（引用4） ```python # 特征值排序并选择前2个主成分 eigen_pairs = [(np.abs(eigen_vals[i]), eigen_vecs[:,i]) for i in range(len(eigen_vals))] eigen_pairs.sort(reverse=True, key=lambda k: k[0]) w = np.hstack((eigen_pairs[0][1][:, np.newaxis], eigen_pairs[1][1][:, np.newaxis])) # 数据投影 X_train_pca = X_train_std.dot(w) # 标准化数据与投影矩阵相乘 ``` 此代码实现了特征值排序、投影矩阵构建和数据投影的完整流程。 ---