(扩展)BSGS学习笔记

现有同余方程

$$a^x\equiv b(mod\space p)$$
其中 $(a,p)=1$
如果暴力枚举 $x$的话,根据欧拉定理
$$a^{\varphi(p)}\equiv 1(mod\space p)$$
效率是 $O(p)$的
现在我们考虑分块,设 $m=\lceil \sqrt{p}\rceil,1\leq j\leq m$
那么原式可以表示为
$$a^{im-j}\equiv b(mod\space p)$$
即
$$a^{im}\equiv ba^j(mod\space p)$$
我们可以把 $ba^j$的值存储下来,枚举 $i$的时候询问是否存在这样一个$j$,这样就可以做到 $O(\sqrt{p})$了
如果 $(a,p)>1$,这个方法就行不通了,因为 $a^{im}\equiv ba^j(mod\space p)$ 推回 $a^{im-j}\equiv b(mod\space p)$ 时需要两端同除以 $a^j$,而 $gcd(a,p)>1$时就不能这样做了.
考虑对 $a,b,p$进行处理,设 $g=(a,p)$,那么
$$a^{x-1}(\frac{a}{g})\equiv \frac{b}{g}(mod\space \frac{p}{g})$$
$$a^{x-1}\equiv \frac{b}{g}(\frac{a}{g})^{-1}(mod\space \frac{p}{g})$$
新的 $b$就是$\frac{b}{g}(\frac{a}{g})^{-1}$
新的 $p$就是$\frac{p}{g}$
不断如此进行操作,记录最终操作次数,答案就是最后 $a,b,p$的答案加上操作次数,此外我们还需要暴力检验小于等于操作次数的答案
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