leetcode 877. Stone Game 详解 -——动态规划

原博客地址 https://blog.youkuaiyun.com/androidchanhao/article/details/81271077

题目链接

https://leetcode.com/problems/stone-game/discuss/
https://leetcode-cn.com/contest/weekly-contest-95/problems/stone-game/

877. 石子游戏

亚历克斯和李用几堆石子在做游戏。偶数堆石子排成一行，每堆都有正整数颗石子 piles[i] 。

游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的总数是奇数，所以没有平局。

亚历克斯和李轮流进行，亚历克斯先开始。 每回合，玩家从行的开始或结束处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止，此时手中石子最多的玩家获胜。

假设亚历克斯和李都发挥出最佳水平，当亚历克斯赢得比赛时返回 true ，当李赢得比赛时返回 false 。

示例：

输入：[5,3,4,5]
输出：true
解释：
亚历克斯先开始，只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。
假设他取了前 5 颗，这一行就变成了 [3,4,5] 。
如果李拿走前 3 颗，那么剩下的是 [4,5]，亚历克斯拿走后 5 颗赢得 10 分。
如果李拿走后 5 颗，那么剩下的是 [3,4]，亚历克斯拿走后 4 颗赢得 9 分。
这表明，取前 5 颗石子对亚历克斯来说是一个胜利的举动，所以我们返回 true 。

提示：

1. 2 <= piles.length <= 500
2. piles.length 是偶数。
3. 1 <= piles[i] <= 500
4. sum(piles) 是奇数。

题解：

由于题目的限制条件是石头的堆数是偶数，且石头的总数是奇数，因此Alex可以选择一种策略总是选偶数堆或者奇数堆的石头，则一定可以胜过Lee。简单说，Alex在题目的条件限制下是必胜的。但这里我们需要进行更一般化的分析，例如石头堆数不一定是偶数，石头总数也不一定是奇数，且不但要判断Alex是否能赢，还要判断最多赢多少分，如果输，能不能提供最少输多少分。这里的分数是指多拿的石头数量。

我们每次只能拿两端的石头堆的石头，但我们又不知道拿完后剩下的石头堆的情况，因此我们考虑先解决子问题。例如我们求出2个相邻石头堆的胜负情况，我们可以根据求出的数据求出相邻3个石头堆的胜负情况，以此类推，我们可以根据n-1个相邻石头堆的胜负情况，求出n个相邻石头堆的胜负情况，即我们的原问题。
根据我们的类推我们可以设dp[i][j]为piles[i]~piles[j]Alex最多可以赢Lee的分数。每次取石头堆只能从两端取，因此:dp[i][j] = max(piles[i] - dp[i+1][j], piles[j] - dp[i][j-1])。其中
piles[i] - dp[i+1][j]表示Alex取走i上的石头堆，piles[j] - dp[i][j-1]表示Alex取走的是j上的石头堆。注意，为什么dp[i+1][j]表示piles[i+1]~piles[j]之间Alex最多可以赢Lee的分数，而piles[i]要减去该值而不是加上该值呢？由于我们的要求是每一步Alex和Lee采取的都是最优策略，当取piles[i]时，piles[i+1]~piles[j]中Alex和Lee的走法会调换。意即Lee走Alex的走法，Alex走Lee的走法，因此这里要做减法。

以题目中的[5, 3, 4, 5]为例，下图是我们的计算步骤：

按照这个思路，很容易写出完整的代码：

class Solution {
public:
    bool stoneGame(vector<int>& piles) {
        int n = piles.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i][i] = piles[i]; //初始化只有i一个石头堆的情形
        }
        for(int dis = 1; dis < n; dis++) {//依次计算相邻2个石头堆到n个石头堆的情形
            for(int i = 0; i < n - dis; i++) {
                dp[i][i+dis] = max(piles[i]-dp[i+1][i+dis], piles[i+dis]-dp[i][i+dis-1]);
            }
        }
        return dp[0][n-1] > 0;
    }
};
 
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参考资料：
https://leetcode.com/problems/stone-game/discuss/154610/C++JavaPython-DP-or-Just-return-true