《编程之美》2.20 程序理解和时间分析(读别人的程序)

题目：

        给出一段C#代码，要求不用电脑，理解程序并回答问题。

 

解答：

下面是从C#代码中改写成的C++代码： #include "stdafx.h" #include<iostream> #include<stdio.h> #include<time.h> #include<math.h> #include<stdlib.h> #include<algorithm> #include<queue> #include<Windows.h> using namespace std; int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { int rg[]= { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 }; for (__int64 i = 1; i < _I64_MAX; i ++) { int hit = 0; int hit1 = -1; int hit2 = -1; for (int j = 0; j < sizeof(rg)/sizeof(rg[0]) && hit <= 2; j ++) { if ((i % rg[j]) != 0) { hit ++; if (hit == 1) { hit1 = j; } else if (hit == 2) { hit2 = j; } else { break; } } } if ((hit == 2) && (hit1 + 1 == hit2)) { printf("found %I64d /n", i); } } system("pause"); return 0; }

 

 

解答： 

 

         理解这个程序就是从输出的地方往前追溯就可以。这个程序输出的条件是hit==2&&(hit1+1==hit2)，再往前追溯看hit,hit1,hit2三个变量分别代表什么，hit表示满足i%r[j]!=0的条件的次数，hit==2表示这个条件只能被满足两次，也就是说对于一个i，在rg数组的30个数中，这个i能被其它28个数整除，而不能被其中两个数整除。而hit1表示第一个不能整除i的数的下标，hit2表示第二个不能整除i的下标，这两个下标被要求相差只有1。

         于是，程序所要寻找的是这样的数：这个数i不能被2-31这30个数中的两个相邻的数整除，但能被其它28个数整除。所以，这个i肯定是其它28个数的最小公倍数的整数倍。然而i不能被两个相邻的数整除，所以必然是分解质因子后要么i的质因子中不包括这两个数的质因子，要么是i的质因子的次数小于这两个数中相同质因子的次数。

       那么，只需要给2-31这30个数分解质因数，找一下是否有这样的相邻的两个数，要么它们的质因子中有其它数没有的质因子，要么对于相同的一个质因子，这两个数包含这个质因子的次数高于其它所有次数（注意只需要该质因子高于其他所有rg中数的该因子的次数，而非其他所有该因子的次数之和，原因是最后只需最小公倍数）。为此建立一张表如下：

 

 由上表中可以看出，只有16、17、19、23、25、27、29、31这几个数包含次数最高的质因子。而相邻的则只有16，17。所以，这段程序所要求的数i就是，它不能被16、17整除，但能被30个数中的其它28个数整除，最小的i就是其它28个数的最小公倍数，从上表中知道，这个最小的i是：23*33*52*7*11*13*19*23*29*31，用计算器计算出这个数是：2123581660200。可以把上述程序中的for循环中的i初始化成这个数来检验。

 

 

 

 

估算时间：

 

      我们先确定一个原子操作（或者说原子过程更合适），这里我们取内层for循环里的整个if语句块，该段程序主要包括一个取模操作和一个判断，如果进入if语句的话，还包括1次加法操作，1~2次判断和一次赋值操作。

      我们知道加法、判断等操作基本都在几个时钟周期内就可以完成，而除法操作却需要数十个时钟周期，而取模操作也是通过除法操作得到的(还记得汇编语言里，执行除法操作之后，一个寄存器里存结果，另一个寄存器里存余数)，另外，对64位整数的除法明显要慢于32位整数，综合这些因素，我们可以假设该原子操作需要100个时钟周期。因此2GHz的CPU在1秒内能跑2*10^9 / 100 = 2*10^7 即2000万次原子操作，做过ACM的同学就会有一个直观概念，这和我们通常做时限为1S的题时估算的计算次数差不多。

       接下来估算原子操作执行的次数：外层循环跑了2123581660200次，内层循环取决于 i 的情况，当i为奇数的时候，内层最多跑5次即可结束，因为2，4，6都不能整除奇数；当i为偶数的时候，情况要复杂一些，但是也可以一个一个的详细分析。这里我们粗略估计，就算内层循环平均可以跑10次，外层循环少跑一些，去掉零头，总的原子操作执行了2*10^13次。

所以需要 2*10^13 / (2*10^7) = 10^6秒约为277个小时。