[zz]《编程之美》之："程序理解和时间分析"

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这是《编程之美》的2.20题目，给出一段C#代码，要求不用电脑，理解程序并回答问题。下面是从C#代码中改写成的C++代码：

 1 #include <iostream>
 2 #include <limits>
 3 using namespace std;
 4 int main() {
 5      int rg[] = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,
 6          20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31};
 7      for(__int64 i =1; i < numeric_limits<__int64>::max(); i++) {
 8          int hit = 0;
 9          int hit1 = -1;
10          int hit2 = -1;
11          for(int j = 0; j < sizeof(rg)/sizeof(*rg) && (hit <= 2); j++) {
12               if((i % rg[j]) != 0) {
13                    hit++;
14                    if(hit == 1) {
15                        hit1 = j;
16                    } else if(hit == 2) {
17                        hit2 = j;
18                    } else break;
19               }
20          }
21          if(hit == 2 && hit1+1==hit2) {
22               cout << "find " << i << endl;
23               break;
24          }
25      }
26      return 0;
27 }

理解这个程序就是从输出的地方往前追溯就可以。这个程序输出的条件是hit==2&&(hit1+1==hit2)，再往前追溯看hit,hit1,hit2三个变量分别代表什么，hit表示满足i%r[j]!=0的条件的次数，hit==2表示这个条件只能被满足两次，也就是说对于一个i，在rg数组的30个数中，这个i能被其它28个数整除，而不能被其中两个数整除。而hit1表示第一个不能整除i的数的下标，hit2表示第二个不能整除i的下标，这两个下标被要求相差只有1。于是，程序所要寻找的是这样的数：这个数i不能被2-31这30个数中的两个相邻的数整除，但能被其它28个数整除。所以，这个i肯定是其它28个数的最小公倍数的整数倍。然而i不能被两个相邻的数整除，所以必然是分解质因子后要么i的质因子中不包括这两个数的质因子，要么是i的质因子的次数小于这两个数中相同质因子的次数。

那么，只需要给2-31这30个数分解质因数，找一下是否有这样的相邻的两个数，要么它们的质因子中有其它数没有的质因子，要么对于相同的一个质因子，这两个数包含这个质因子的次数高于其它所有次数。为此建立一张表如下：

 

 

 

 

由上表中可以看出，只有16、17、19、23、25、27、29、31这几个数包含次数最高的质因子。而相邻的则只有16，17。所以，这段程序所要求的数i就是，它不能被16、17整除，但能被30个数中的其它28个数整除，最小的i就是其它28个数的最小公倍数，从上表中知道，这个最小的i是：2³*3³*5²*7*11*13*19*23*29*31，用计算器计算出这个数是：2123581660200。可以把上述程序中的for循环中的i初始化成这个数来检验。

 

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