递归：斐波那契数列Logn复杂度（Java实现）

斐波那契数列的定义：

用递推地方式的方法可以得方式得出如下结论：

所以要求第n项的值变成了求矩阵与矩阵的相乘，还有矩阵的n次幂的求法。

            求一个数或矩阵数的n次幂的O（logn）复杂度的求法： 

            

           

整数的n次幂可以划分为如上的两部分来计算，，对于无论是奇数还是偶数，只要指数右移一位就可以，当是奇数时，最后再乘个a即可。

p>>1：

p右移一位相当于p除以2，，p/2

---

以上就是斐波那契数列的关键点，下面附上代码：

package fibonacii;
import  java.util.Scanner;

public class Fibonacci {
	public static void main(String[] args) {
		System.out.println("请输入需要查询的斐波那契数列项：");
		Scanner in =new Scanner(System.in);
		int n=in.nextInt();
		System.out.println("第"+n+"项为"+getFibonacii(n));
	}
	
	public static int getFibonacii(int n){ 
		if(n<1)
			return 0;
		else if(n<=2)
			return 1;
		else{
			int [][]base = {{1,1},{1,0}};	//基础矩阵
			int [][]res = matrixPower(base,n-2); //斐波那契数列f(n)，f(n-1)是(1,1)与{{1，1}，{1，0}}的n-2次幂
			return res[0][0]+res[1][0];	//第一列的两项之和为f(n)的值
		}
	}
	
	public static int[][] matrixPower(int [][]m,int p){
		if(p==0){	//异常情况，应该不存在
			return null;
		}
		else if(p==1){	//求矩阵m的一次方就是其本身
			return m;
		}
		else{	//到了这里意味着矩阵的幂不止2次，但是有可能是奇数也可能是偶数
			int [][]res = matrixPower(m,p>>1);	//p>>1代表着左移一位，数值作用就是除以2，矩阵少平方了一次
			res=muliMatrix(res,res);		//前面除以2，这边就让自己与自己相乘以抵消之前的操作，也避免了重复的乘法
			if((p%2)==1){ //如果p是个奇数，左移的过程中就使得乘法少了一次
				res = muliMatrix(res,m);
			}
			return res;
		}		
	}
	
	public static int[][]muliMatrix(int[][] m1, int[][] m2){
		int [][] res = new int[m1.length][m2[0].length];	//为了通用性，这里结果矩阵的行列都依据传进来的矩阵取值
		for(int i=0;i<m1.length;i++){
			for(int j=0;j<m2[0].length;j++){
				for(int k=0;k<m2.length;k++){
					res[i][j]+=m1[i][k]*m2[k][j];
				}
			}
		}
		return res;								
	}
}

程序运行结果：