质因数分解问题 --python

Nanhuiyu

已于 2025-02-09 22:07:46 修改

阅读量416

点赞数

分类专栏：算法与python 文章标签：算法数据结构 python

于 2023-04-17 22:04:40 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq3342560494/article/details/130209245

版权

算法与python 专栏收录该内容

1 篇文章

订阅专栏

文章介绍了两种方法来解决寻找正整数n由两个不同质数相乘得到的情况下，较大质数的问题。第一种是常规的从大到小遍历判断质数的方法，但可能在处理大数据时效率低下。第二种方法通过分解质因数并排序来提高效率，降低了时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

本期我们借助一道洛谷的算法题来探讨一下快速判断指定范围内的素数这个问题，原题来自洛谷计算生态[NOIP2012 普及组] 质因数分解，原题如下：

题目描述

已知正整数 n 是两个不同的质数的乘积，试求出两者中较大的那个质数。

输入格式

输入一个正整数 n。

输出格式

输出一个正整数 p，即较大的那个质数。

输入输出样例

输入 #1 输出 #1

21       7

说明/提示

1≤n≤2×1091≤n≤2×109

题目分析

题目给定一个由两个不同质数相乘得到的正整数 n，要求找出其中较大的质数。由于质因数分解具有唯一性，我们可以通过寻找较小质因数来快速推导出答案。

解法详解

在本题中，我们需要掌握的一个重要规律是：除了2和3之外的质数，其位置必定在形式为 6n+1 和6n+5 的位置上(充分不必要)。以下是证明过程：

大于等于5的质数必定是6的邻数考虑6的倍数附近的数：6n+1、6n+2、6n+3、6n+4、6n+5。其中，

6n+2、6n+3、6n+4均可被分解：
6n+2 = 2(3n+1)
6n+3 = 3(2n+1)
6n+4 = 2(3n+2)

因此，这三个数不可能是质数。剩下的只有6n+1和6n+5可能是质数。
判断6n+1和6n+5是否为质数在判断6n+1和6n+5是否为质数时，只需检查这些数是否为6的邻数的倍数即可。

为何无需检查6n+2、6n+3、6n+4的倍数？首先，6n+2和6n+4为偶数，不可能是6n+1和6n+5这两个奇数的因数，因此无需检查。其次，6n+3 = 3(2n+1)，所以6n+3必然是3的倍数。而3的倍数不会出现在6n+1或6n+5的位置上。因为当n为整数时：

(6n+1)/3 = 2n + 1/3，不可能是整数。
(6n+5)/3 = 2n + 1 + 2/3，也不可能是整数。

所以6n+1和6n+5不可能是6n+3的倍数。因此，6n+1和6n+5只能是6m+1和6m+5的倍数，这也表明质数的两个因数也是6的邻数。

方法一：逆向遍历法（存在缺陷）

实现思路
从 n 向下遍历每个数，判断其是否同时满足：

是 n 的因数
是质数

优化尝试
基于质数分布的 6k±1 规律进行初步筛选（除2、3外，质数均满足该形式）：

def get_max(nums):
    for i in range(nums, 1, -1):
        if nums % i == 0 and (i in {2,3} or i%6 in {1,5}):
            return i

缺陷说明
此方法存在两处关键问题：

未进行完整的质数校验，可能返回合数（如 25 会错误返回5的平方数25）
遍历范围过大（需遍历 n~2），时间复杂度为 O(n)

不推荐在实际解题中使用

方法二：质因数分解法（推荐）

数学原理
对于 n = p×q（p < q），当找到最小质因数 p 时，q = n/p 即为所求最大质因数

优化实现

import math

def is_prime(num):
    """ 优化的质数判断函数 """
    if num < 2:
        return False
    if num in (2, 3):
        return True
    if num%2 == 0 or num%3 == 0:  # 排除偶数和非6k±1数
        return False

    # 只需检查6k±1形式的因数，减少工作量
    max_div = int(math.sqrt(num)) + 1
    for i in range(5, max_div, 6):
        if num%i == 0 or num%(i+2) == 0:
            return False
    return True

def find_max_prime(n):
    """ 直接寻找最小质因数 """
    if n%2 == 0:  # 处理偶数特例
        return n//2 if is_prime(n//2) else 2

    max_div = int(math.sqrt(n)) + 1
    for i in range(3, max_div, 2):  # 步长设为2跳过偶数
        if n%i == 0:
            candidate = n//i
            return candidate if is_prime(candidate) else i
    return n  # n本身是质数的情况（根据题意不会出现）

if __name__ == "__main__":
    n = int(input())
    print(find_max_prime(n))

复杂度分析