循环链表相交-快慢指针找相交点证明

1 原问题

        问题：给一个单向链表，判断这个链表中是否有环。并找到这个环的起点。

        解法：

        （1）使用两个指针，一个快一个慢，快的每次循环向后移动两步，慢的每次向后移动一步，如果两个指针相遇，则链表存在循环。

        （2）让一个指针从相遇点出发，每次向后移一步，另一个指针从链表头出发，每次也向后移一步，两个指针相遇的点就是环的起点。

2 证明

        我们要证明的不是  b = c， 而是两个速度相同的指针分别从O点和P点顺时针出发，它们会在Q点相遇。

        先行条件是快慢指针在P点相遇，且快指针速度是慢指针的2倍，则相遇时，快指针走过的路径长度是慢指针的2倍

       解：  设快慢指针在P点相遇时，慢指针在圆圈中走了m圈， 快指针走了n圈。

                则有：   

                2[c + m(a + b) + a] = c + n(a + b) + a            (1)

                 <=>     c = (n - 2m - 1) (a+b) + b              (2)

        如果 (n - 2m - 1) = 0，（2）式变成 c = b，得证。

        如果 (n - 2m - 1) < 0，（2）式可以推出 c < 0，不可能。

        如果 (n - 2m - 1) > 0，由公式（2）我们可以知道，c刚好等于（整数倍周长 + b） ，如果一个指针在P点出发，一个在O点出发，当从O出发的指针到达Q点时，从P出发的指针刚好走了一个b + 整数倍的周长，然后出现在Q点，从而可知两个指针在Q点相遇，得证。