剑指OFFER 13：剪绳子 -动态规划 与 贪心

题目：给你一段长度为n 的绳子，请把绳子剪成 m 段，每段长度记作 k1,k2,...km, 要求使得 k1 * k2 * ...km 乘积最大。

思路：动态规划满足的特点：
特点1：求一个问题的最优解，通常是求最大值或最小值问题。
特点2：该问题可以拆分为若干个子问题，该问题的最优解又依赖于子问题的最优解。比如剪长度为5的绳子，依赖的子问题就是长度为1 和 4 子问题，与长度为2 和 3 子问题相比较下的最优解。
特点3：把大问题拆分成若干个小问题，这些小问题之间彼此重复。比如求绳子为5的，与求绳子为6的，重叠子问题就在于，求5时已经算过 4 （1和4），算6时还要算4 （2和4）。
特点4：从上往下分析问题，从下网上求解问题。比如求解为5的绳子，就要去计算1 与4 ，2 与3 ，是由5 才去联想到去计算1 4，2 5，然而代码里面求解是先计算1，2，3，4，

贪心：
贪心算法的要点在于贪心策略，贪心算法的特点是，局部最优解一定能求得总体最优解。
比如这题贪心策略是尽可能多剪长度为3的绳子，即一个数分解成多个3，比分解成其它数要大。这个需要证明。
当 n >= 5时， 2(n-2) > n, 3(n-3) >n ,  同时 , 3(n-3) >= 2(n-2)
注意！ 当n ==4 时，2(n-2) > 3(n-3)

import java.util.Scanner;

public class CutShenzi {

	public static void main(String[] args) {
		System.out.println("绳子长度，N=");
		Scanner in = new Scanner(System.in);
		int n = in.nextInt();
		System.out.println(Dynamic(n));
		//System.out.println(Tanxin(n));
	}
	public static int Dynamic(int len) {
		int max=0;
		if(len <  2) return 0;
		if(len == 2) return 1;
		if(len == 3) return 2;
		int [] arr = new int [len+1];
		arr[0]=0;
		arr[1]=1;
		arr[2] = 2;
		arr[3] = 3;
		for(int i=4;i<=len;i++) {
			for(int j=1;j<=i/2;j++) {
				int tmp = arr[j] * arr[i-j];
				if(max<tmp) max = tmp;  		//穷举找到乘积i最大值
			}
			arr[i] = max;
		}
	/*
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			System.out.print(arr[i]+"  ");
		}
		System.out.println("=====================");
		*/
		return arr[len];
	}
	
	public static int Tanxin(int len) {
		if(len <  2) return 0;
		if(len == 2) return 1;
		if(len == 3) return 2;
		//贪心策略，多剪 长度为3的绳子
		int timesof3 = len/3;
		//当长度为4时，应该剪成2*2 > 1*3
		if(timesof3*3+1==len) timesof3--;
		int timesof2 = (len-timesof3*3)/2;
		return (int)Math.pow(3, timesof3) * (int ) Math.pow(2, timesof2);
	}
}

总结：这个题其实就是求一个数分解成若干个数k1,k2,km,，k1+k2+..km = n,并且求这几个k1,k2 ..km 乘积最大的题。
同时要记得动态规划与贪心的区别，动态规划的特点。