剪绳子（动态规划、贪心算法）

一、前言

《剑指Offer》中题14

 

二、题目

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段(m、n都是整数，n>1并且m>1)，每段绳子的长度记为k[0]，k[1]，...，k[m]。请问k[0] X k[1] X ... X k[m]。可能的最大乘积是多少?例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

 

三、思路

第一种解法：递归自顶向下解法

当第一次看到这个问题的时候第一反应的什么呢？有点蒙，再细细想想这个问题。将一根绳子分为m段其乘积最大，m段必定有两部分组成定为m1，m2，要想m段乘积最大，就需要保证m1段中的分割乘积是最大，同理m2也需一样。先看下面图，n第一次分割之后如下：

备注，第一行和下面组合不是两个值直接相乘，而是拆分之后最大的值相乘，例如 m1 长度为 6， m2 长度 n-6，m1分割最大乘积是9（3*3）

最大的结果肯定为其中一个组合，即：f(n) = max(f(i) X f(n-i))；同理 f(i)，f(n-i)又可以往下切割，直到最小单位位置，最小切割单位为 f(1) = 1，f(2) = 2， f(3) = 3。

分析完成脑海立马想到的是递归解法，递归简单易懂。

第二种解法：递推自下而上解法

递归很好理解，但递归重复了大量计算，随着n值增大，效率呈指数下降。递归是自顶向下，那有没有自下而上的解法呢？

回顾一下斐波那契数列第二种解法，它是每次计算f(k)，f(k+1)的值，通过f(k)，f(k+1)可以求出f(k+2)，通过f(k+1)ÿ