KF_卡尔曼滤波中协方差更新的两种不同形式：标准形式和对称/等效形式_卡尔曼滤波约瑟夫形式更新协方差矩阵-优快云博客

这是一个非常好的问题，涉及到卡尔曼滤波中协方差更新的两种不同形式：标准形式和对称/等效形式。你提到的两个公式：

P = (I - K @ H) @ P @ (I - K @ H).T + K @ R @ K.T
P = (I - K @ H) @ P

它们看似不同，但实际上在理论正确性、数值稳定性、适用场景上有重要区别。下面我们详细分析。
✅ 正确的协方差更新公式（理论完整版）
🟩 完整对称形式（更精确）：

Pk∣k=(I−KkHk)Pk∣k−1(I−KkHk)T+KkRkKkT
Pk∣k=(I−KkHk)Pk∣k−1(I−KkHk)T+KkRkKkT

这是从协方差传播定律直接推导出的完整表达式，它考虑了两个噪声源的影响：

预测误差（通过 (I−KH)P(⋅)T(I−KH)P(⋅)T 传播）
测量噪声引入的新不确定性（通过 KRKTKRKT 加入）

✅ 优点：

    数学上最严谨
    保持协方差矩阵的对称性和正定性更好（尤其在浮点计算中）
    更适合平方根滤波或数值稳定性要求高的场景

⚠️ 缺点：

    计算量稍大（多一次矩阵乘法）

🟨 简化形式（常用标准形式）
标准教科书形式：

Pk∣k=(I−KkHk)Pk∣k−1
Pk∣k=(I−KkHk)Pk∣k−1

这个公式是上面完整形式的一个代数简化结果，前提是在卡尔曼增益取最优值（即卡尔曼增益）时，两个表达式在数学上是等价的！
🔍 为什么可以简化？

因为在最优卡尔曼增益下，有如下恒等式成立：

(I−KH)Pk∣k−1=Pk∣k−1HT(HPk∣k−1HT+R)−1(HPk∣k−1)
(I−KH)Pk∣k−1=Pk∣k−1HT(HPk∣k−1HT+R)−1(HPk∣k−1)

经过一系列代数变换（涉及矩阵逆引理），可以证明：

(I−KH)Pk∣k−1(I−KH)T+KRKT=(I−KH)Pk∣k−1
(I−KH)Pk∣k−1(I−KH)T+KRKT=(I−KH)Pk∣k−1

✅ 所以，在卡尔曼增益是按标准公式计算的前提下，这两个公式是数学等价的。
🔍 二者对比总结
特性公式1：完整对称形式
P = (I-KH)@P@(I-KH).T + K@R@K.T 公式2：简化形式
P = (I-KH)@P
数学正确性 ✅ 完全正确 ✅ 在最优K下等价
对称性保持 ✅ 更好（显式对称结构） ❌ 可能因数值误差失去对称性
正定性 ✅ 更稳定 ⚠️ 可能出现微小负特征值
计算开销 ⬆️ 稍高（多矩阵乘） ⬇️ 更低
推荐使用场景高精度、鲁棒性要求高、平方根滤波一般应用、教学、快速实现
🛠 实际建议

一般情况下：使用简化形式 P = (I - K@H) @ P 即可，这是绝大多数教材和代码库（如 filterpy）采用的形式。

高精度或稳定性敏感场景（如航天、惯导）：
    推荐使用对称形式，或进一步使用平方根卡尔曼滤波（用Cholesky分解维护协方差矩阵的平方根）。

数值实现技巧：
    即使使用简化形式，也建议最后对 PP 做对称化处理：

        深色版本

        P = (P + P.T) / 2

    以强制保持对称性。

✅ 示例代码对比（Python）

python
深色版本

import numpy as np

假设已有

P_pred = np.array([[4.0, 1.0], [1.0, 3.0]])
H = np.array([[1.0, 0.0]])
R = np.array([[1.0]])
K = P_pred @ H.T @ np.linalg.inv(H @ P_pred @ H.T + R)  # K shape: (2,1)

KH = K @ H  # (2,2)

方法1：完整对称形式

P1 = (np.eye(2) - KH) @ P_pred @ (np.eye(2) - KH).T + K @ R @ K.T

方法2：简化形式

P2 = (np.eye(2) - KH) @ P_pred

检查是否接近

print("P1 ≈ P2:", np.allclose(P1, P2))  # 应该为 True

✅ 结论

两个公式在理论最优条件下是等价的。
P = (I - KH) @ P 是标准简化形式，推荐日常使用。
P = (I-KH)@P@(I-KH).T + K@R@K.T 更严谨，适合高精度或稳定性要求高的系统。
实际编程中，无论用哪个，都建议最后对 PP 进行对称化处理。