矩阵优化递推的总结(不定期更新，最后更新20140321)-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sdogsq/article/details/19760245

本文总结了矩阵优化递推的方法，包括矩阵定义、乘法、快速幂以及重要性质。探讨了如何利用矩阵优化求解数列第K项，如Fibonacci数列，并以NOI2012的随机数生成器为例。同时讨论了矩阵在处理数列前K项和问题上的普适性，以及在处理模质数问题时如何利用费马小定理简化计算。文章还提及矩阵可能满足费马小定理的猜想，以及后续更新的验证计划。

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写在前面：

定义矩阵：

struct Matrix{
	LL a[MAX_K][MAX_K],n,m;//n行 m列
	Matrix(int _n = 0,int _m = 0):n(_n),m(_m){rep(i,1,n)rep(j,1,m) a[i][j]=0;}
	void dw(int _n,int _m){n=_n,m=_m;rep(i,1,n)rep(j,1,m) a[i][j]=(i==j?1:0);}
	LL& operator ()(int i,int j){return a[i][j];}
	void print(){rep(i,1,n) rep(j,1,m) printf("%I64d%c",a[i][j],j==m?'\n':' ');}
};

矩阵乘法：

优化递推主要应用到矩阵乘法（当然如果要说特征根方程求通项的话....），先简单介绍一下矩阵乘法（可以无视掉）：

定义矩阵A，B。

当且仅当A .m==B.n时矩阵A,B可乘。

A(x,y)*B(y,z)=C(x,z)

其中每一个元素 Cij=Aik*Bkj (1<=k<=y)

矩阵乘法满足结合律与分配律，结合律是矩阵能够优化递推的关键所在。

矩阵优化递推的一般方法：

构建一个N维向量A(1,n)，一个N*N的转移矩阵B(n,n)

A(1,n)*B(n,n)=C(1,n) 我们发现C与A 同阶，C 又能乘B ...就这样一直递推到需要的一项。

但一般先写出A和下一项C ，再来倒推转移矩阵B

矩阵快速幂：

矩阵乘法一次是O(n^3)的，单凭矩阵乘法优化递推是不可行的。

当然，上面说过矩阵乘法满足结合律，我们考虑矩阵快速幂！

比如要得到递推式的第K项，相当于计算 A*B^K=C

B^K可以通过矩阵快速幂O(N^3logK)算出

Matrix operator *(Matrix a,Matrix b){//矩阵乘法
	Matrix res(a.n,b.m);
	rep(i,1,a.n) rep(j,1,b.m) rep(k,1,a.m)
		(res(i,j)+=a(i,k)*b(k,j))%=MOD;
	return res;
}
Matrix operator ^(Matrix a,LL x){//快速幂
	Matrix res;res.dw(a.n,a.m);
	for (;x;a=a*a,x>>=1)
		if (x&1) res=res*a;
	return res;
}