程序员面试金典： 9.9 递归和动态规划 9.10求堆出箱子的最大高度

这篇博客探讨了一个箱子堆叠的问题，其中箱子的宽度、高度和深度必须符合特定条件。博主通过分析问题特点，指出这不是汉诺塔问题，并提出问题需要采用动态规划来解决。动态规划的关键在于最优子结构和无后效性。博客展示了如何通过递归和记忆化搜索找出最大高度的箱子堆，具体包括创建箱子列表、比较函数和计算高度的实现细节。

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#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <vector>
#include <map>

using namespace std;

/*
问题：给你一堆n个箱子，箱子宽Wi,高Hi,深Di。箱子不能翻转，将箱子堆起来时，下面箱子的宽度、高度和深度必须大于上面的箱子，
      实现一个方法，搭出最高的一堆箱子，箱堆的高度为每个箱子高度的总和。
分析：这是汉诺塔问题吗？不是，汉诺塔是将一推从底下最大到顶上最小的盘子 从一个柱子转移到另一个柱子上。
      搭出的高度要最大，显然只能把最底下箱子面积最大，依次从中选择次最大面积的箱子叠加在底下的箱子上面不就行了。
	  问题的关键在于：如果我找的第一个箱子宽度和深度最大的，但如果它的高度不高，第二个箱子虽然宽深都比第一个小，
	                  但是高度比它高，那么其实选择第一个箱子和第二个箱子是要被第三个箱子来决定的。
	  这个问题需要动态规划来做。动态规划的特点是：无后效性和最优子结构。
	  1】最优子结构：最优化远离
	  2】无后向性：当前状态一旦确定，就不受状态之后的决策影响
	  原理：将问题分解为子问题，求解；适用含有重叠子问题
	  关键：需要确定状态转移方程，一般是某种递推的表示，而且是累加和的表示
	  设d[w][h][d]表示从起始箱子到当前摆放箱子(w,h,d)所拥有的最大高度，
	  设d[i]表示从初始第一个箱子到第i个箱子的最大高度，则所求结果为d[n],
	  特殊值:d[0]=0,
	  设i > j,有
	  d[i] = max{ d[i-j] + goods[j].h ,   }
	  实际可以用递归做，初始化指定一个底部的盒子，然后依次遍历放在其上面的盒子



输入:
5(n个箱子，接下来有n行，每一行3个数分别表示w,d,h)
10 8 5
8 6 7
7 7 4
5 5 6
1 1 1
输出:
14

关键:
1 计算所有箱子为底部箱子后对应的摆放箱子列表，然后从中选择出高度最高的箱子。初始底部箱子的选择是遍历整个箱子列表，
  尝试把每个箱子放在底部来计算。得到需要将为底的箱子本身加入其上面的箱子列表，才组成从箱子底部到高处的结果
vector<Bin> createBins(vector<Bin>& bins ,Bin& bottom, map<Bin , vector<Bin> >& binToList )
{
	vector<Bin> vecBin;
	if(bins.empty())
	{
		return vecBin;
	}

	//动态规划中记忆化搜索，如果已经求得了以bottom为底的箱子摆放箱子列表，那么直接返回
	if( binToList.find(bottom) != binToList.end() )
	{
		return binToList.find(bottom)->second;
	}

	//如果没有找到，那么就需要遍历所有箱子，判断每个箱子是否可以放在底部箱子之上，然后记录摆放后的高度，递归处理
	int maxHeight = 0;
	vector<Bin> maxBins;
	int n = bins.size();
	for(int i = 0 ; i < n ; i++)
	{
		//如果可以摆放，那么需要累加最大高度，应该先递归，再计算最大高度,而创建映射需要放在最后做
		if( bins.at(i).canBeAbove(bottom) )
		{
			vector<Bin> newBins = createBins(bins , bins.at(i) , binToList);
			int newHeight = getHeight(newBins);
			if(newHeight > maxHeight)
			{
				maxHeight = newHeight;
				maxBins = newBins;
			}
		}
	}
	//上面得到了最终的以某个箱子为底的摆放最大高度的箱子列表，下面需要将<为底的箱子，箱子列表>存入映射，方便记忆化搜索
	//需要将为底的箱子本身加入其上面的箱子列表，才组成从箱子底部到高处的结果
	maxBins.insert(maxBins.begin() , bottom);
	binToList.insert(pair<Bin , vector<Bin> >(bottom , maxBins));
	//返回以bottom为底的箱子列表
	return maxBins;
}  

2 	//由于要作为map的键，因此，需要重写比较函数，map中必须有比较函数，优先以：w,d,h的顺序排列吧
	// 用重载操作符operator<的方法做  bool operator < (const Student& stu) const  ，
	函数末尾的conts会把this指针加上const然后与输入配对
	bool operator < (const Bin& bin) const
*/

const int MAXSIZE = 10000;

typedef struct Bin
{
	Bin(){}
	Bin(int w, int d, int h):_w(w),_d(d),_h(h){}
	//判断当前箱子是否可以放在底部箱子bin，所以bin要大于当前
	bool canBeAbove(Bin& bottom)
	{
		if( _w < bottom._w && _d < bottom._d && _h < bottom._h)
		{
			return true;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	//由于要作为map的键，因此，需要重写比较函数，map中必须有比较函数，优先以：w,d,h的顺序排列吧
	// 用重载操作符operator<的方法做  bool operator < (const Student& stu) const  ，函数末尾的conts会把this指针加上const然后与输入配对
	bool operator < (const Bin& bin) const
	{
		if( _w != bin._w )
		{
			return _w < bin._w;
		}
		else
		{
			if(_d != bin._d)
			{
				return _d < bin._d;
			}
			else
			{
				return _h < bin._h;
			}
		}
	}
	int _w;
	int _d;
	int _h;
}Bin;

int getHeight(vector<Bin>& bins)
{
	if(bins.empty())
	{
		return 0;
	}
	int size = bins.size();
	int height = 0;
	for(int i = 0 ; i < size ; i++)
	{
		height += bins.at(i)._h;
	}
	return height;
}

/*
计算所有箱子为底部箱子后对应的摆放箱子列表，然后从中选择出高度最高的箱子
*/
vector<Bin> createBins(vector<Bin>& bins ,Bin& bottom, map<Bin , vector<Bin> >& binToList )
{
	vector<Bin> vecBin;
	if(bins.empty())
	{
		return vecBin;
	}

	//动态规划中记忆化搜索，如果已经求得了以bottom为底的箱子摆放箱子列表，那么直接返回
	if( binToList.find(bottom) != binToList.end() )
	{
		return binToList.find(bottom)->second;
	}

	//如果没有找到，那么就需要遍历所有箱子，判断每个箱子是否可以放在底部箱子之上，然后记录摆放后的高度，递归处理
	int maxHeight = 0;
	vector<Bin> maxBins;
	int n = bins.size();
	for(int i = 0 ; i < n ; i++)
	{
		//如果可以摆放，那么需要累加最大高度，应该先递归，再计算最大高度,而创建映射需要放在最后做
		if( bins.at(i).canBeAbove(bottom) )
		{
			vector<Bin> newBins = createBins(bins , bins.at(i) , binToList);
			int newHeight = getHeight(newBins);
			if(newHeight > maxHeight)
			{
				maxHeight = newHeight;
				maxBins = newBins;
			}
		}
	}
	//上面得到了最终的以某个箱子为底的摆放最大高度的箱子列表，下面需要将<为底的箱子，箱子列表>存入映射，方便记忆化搜索
	//需要将为底的箱子本身加入箱子列表，否则整个列表最终会为空
	maxBins.insert(maxBins.begin() , bottom);
	binToList.insert(pair<Bin , vector<Bin> >(bottom , maxBins));
	//返回以bottom为底的箱子列表
	return maxBins;
}


void process()
{
	int n;
	vector<Bin> bins;
	map<Bin , vector<Bin> > binToList;
	vector<Bin> results;
	vector<Bin> maxResults;
	int w , d , h;
	while(cin >> n)
	{
		bins.clear();
		binToList.clear();
		for(int i = 0 ; i < n ; i++)
		{
			cin >> w >> d >> h;
			Bin bin(w , d, h);
			bins.push_back(bin);
		}
		//接下来计算最大高度，关键就是需要规定以某个箱子为底，这个应该需要遍历每一个箱子
		int maxHeight = 0;
		for(int i = 0 ; i < n ; i++)
		{
			Bin bottom = bins.at(i);
			results = createBins(bins , bottom , binToList);
			int height = getHeight(results);
			//cout << height << endl;
			if(height > maxHeight)
			{
				maxHeight = height;
				maxResults = results;
			}
		}
		cout << maxHeight << endl;
	}
}

int main(int argc, char* argv[])
{
	process();
	getchar();
	return 0;
}