NOIP2000 提高组T4：方格取数

原创已于 2022-10-10 17:49:21 修改 · 374 阅读

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#算法

于 2022-10-10 17:47:46 首次发布

CSP-S第二轮比赛试题及解析 - 提高组复赛专栏收录该内容

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本文介绍了一个寻找两条路径，使得从起点到终点收集数值之和最大的算法问题。通过暴力搜索和动态规划两种方法解决该问题，并给出了详细的代码实现。

题目描述

题目链接

设有 $\times N$ 的方格图 $\le 9)$ ，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字 $0$ 。如下图所示（见样例）:

A
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0 13  0  0  6  0  0
 0  0  0  0  7  0  0  0
 0  0  0 14  0  0  0  0
 0 21  0  0  0  4  0  0
 0  0 15  0  0  0  0  0
 0 14  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
                         B

某人从图的左上角的 $A$ 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的 $B$ 点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字 $0$ ）。
此人从 $A$ 点到 $B$ 点共走两次，试找出 $2$ 条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入格式

输入的第一行为一个整数 $N$ （表示 $\times N$ 的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的 $0$ 表示输入结束。

输出格式

只需输出一个整数，表示 $2$ 条路径上取得的最大的和。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

算法思想（暴力出奇迹+80分）

根据题目要求：

此人从 $A$ 点到 $B$ 点共走两次，试找出 $2$ 条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

可以使用DFS同时搜索这两条路径，分别记录走到每一个位置 $x_1,y_1)$ 、 $x_2,y_2)$ 时取得的数字之和 $s_1$ 、 $s_2$ 。当走到终点时，打擂台求出最大值。

注意，当两条路径走到同一位置时，只能取一次数。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 15;
int w[N][N];
int n, ans;
void dfs(int x1, int y1, int s1, int x2, int y2, int s2)
{
	//越界
    if(x1 > n || y1 > n || x2 > n || y2 > n) return;
    //到达终点
    if(x1 == n && y1 == n && x2 == n && y2 == n)
    {
        ans = max(ans, s1 + s2 + w[n][n]); //加上终点上的数
        return;
    }
    //走到相同位置，只取一次数
    if(x1 == x2 && y1 == y2) 
    {
        dfs(x1 + 1, y1, s1 + w[x1][y1], x2 + 1, y2, s2); //路径1向下走，路径2向下走
        dfs(x1 + 1, y1, s1 + w[x1][y1], x2, y2 + 1, s2); //路径1向下走，路径2向右走
        dfs(x1, y1 + 1, s1 + w[x1][y1], x2 + 1, y2, s2); //路径1向右走，路径2向下走
        dfs(x1, y1 + 1, s1 + w[x1][y1], x2, y2 + 1, s2); //路径1向右走，路径2向右走
    }
    else
    {
        dfs(x1 + 1, y1, s1 + w[x1][y1], x2 + 1, y2, s2 + w[x2][y2]);
        dfs(x1 + 1, y1, s1 + w[x1][y1], x2, y2 + 1, s2 + w[x2][y2]);
        dfs(x1, y1 + 1, s1 + w[x1][y1], x2 + 1, y2, s2 + w[x2][y2]);
        dfs(x1, y1 + 1, s1 + w[x1][y1], x2, y2 + 1, s2 + w[x2][y2]);
    }
}
int main()
{
    int x, y, z;
    cin >> n;
    while(cin >> x >> y >> z, x || y || z) w[x][y] = z;
    dfs(1, 1, 0, 1, 1, 0);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

算法思想（动态规划+100分）

状态表示

通过上面的暴力搜索发现其实要求的就是两条路径到达 $x_1,y_1)$ 、 $x_2,y_2)$ 时得的数字之和的最大值，因此可以用状态 $f(x_1,y_1,x_2,y_2)$ 表示。

状态计算

计算状态 $f(x_1,y_1,x_2,y_2)$ 的值可以分为两类：

走到相同位置，即 $x_1=x_2、y_1=y_2$ ，那么在该位置上只取一次数。此时应该取下面 $4$ 种情况的最大值，再加上 $w(x_1,y_1)$ 。
- 路径1从上面 $x_1-1,y_1)$ 走到 $x_1,y_1)$ 、路径2从上面 $x_2-1,y_2)$ 走到、 $x_2,y_2)$ ，即 $f(x_1-1,y_1,x_2-1,y_2)$
- 路径1从上面 $x_1-1,y_1)$ 走到 $x_1,y_1)$ 、路径2从左面 $x_2,y_2-1)$ 走到、 $x_2,y_2)$ ，即 $f(x_1-1,y_1,x_2,y_2-1)$
- 路径1从上面 $x_1,y_1-1)$ 走到 $x_1,y_1)$ 、路径2从上面 $x_2-1,y_2)$ 走到、 $x_2,y_2)$ ，即 $f(x_1,y_1-1,x_2-1,y_2)$
- 路径1从上面 $x_1,y_1-1)$ 走到 $x_1,y_1)$ 、路径2从左面 $x_2,y_2-1)$ 走到、 $x_2,y_2)$ ，即 $f(x_1,y_1-1,x_2,y_2-1)$
走到不同位置，取两个位置上的数。应该取上面 $4$ 种情况的最大值，再加上 $w(x_1,y_1)$ 、 $w(x_2,y_2)$ 。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 15;
//f[x1][y1][x2][y2]表示两条路径到达(x1,y1)、(x2,y2)时得的数字之和的最大值
int w[N][N], f[N][N][N][N];
int main()
{
    int n, x, y, z;
    cin >> n;
    while(cin >> x >> y >> z, x || y || z) w[x][y] = z;
    for(int x1 = 1; x1 <= n; x1 ++)
        for(int y1 = 1; y1 <= n; y1 ++)
            for(int x2 = 1; x2 <= n; x2 ++)
                for(int y2 = 1; y2 <= n; y2 ++)
                {
                	//求4种情况的最大值
                    int t = max(max(f[x1 - 1][y1][x2 - 1][y2], f[x1 - 1][y1][x2][y2 - 1]),
                            max(f[x1][y1 - 1][x2 - 1][y2], f[x1][y1 - 1][x2][y2 - 1]));                    
                    if(x1 == x2 && y1 == y2) //走到相同位置，只取一次数
                        f[x1][y1][x2][y2] = t + w[x1][y1];
                    else //走到不同位置，取两个位置上的数
                        f[x1][y1][x2][y2] = t + w[x1][y1] + w[x2][y2]; 
                }
    cout << f[n][n][n][n] << endl;
}