C++题解：货仓选址

题目描述

在一条数轴上有 $N$ 家商店，它们的坐标分别为 $A_1$∼$A_N$。

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

输入格式

第一行输入整数 $N$。

第二行 $N$ 个整数 $A_1$∼$A_N$。

输出格式

输出一个整数，表示距离之和的最小值。

数据范围

$1\le N\le 100000$,

$0\le A_i\le 40000$

输入样例

4
6 2 9 1

输出样例

12

解题思路（绝对值不等式）

设$f(x)$表示把货仓建在$x$位置时距离之和的最小值，那么：
$$f(x)=|X_1-x|+|X_2-x|+...+|X_n-x|$$
分组，将第一项和最后一项分一组，第二项和倒数第二项一组…，那么
$$f(x)=(|X_1-x|+|X_n-x|)+(|X_2-x|+|X_{n-1}-x|)+...$$
因为：
$$|X_1-x|+|X_n-x|>=X_n-X_1...$$
所以：
$$f(x)>=X_n-X_1+X_{n-1}-X_2...$$
如果
$$f(x)=X_n-X_1+X_{n-1}-X_2...，$$
则$f(x)$为最小值。那么 $x$ 建在中位数的位置，即$a[n/2]$时，满足距离之和的最小值。此时$a[n/2]$为序列的中位数。

中位数（Median）又称中值，指按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数。

代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N];
int main(){
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    sort(a, a + n);
    int res = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) res += abs(a[i] - a[n / 2]);
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}