CF1204D Kirk and a Binary String

最新推荐文章于 2019-11-12 11:43:53 发布

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#动态规划

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探讨了在给定01串S下，构建长度相同的01串P，使任意区间[l,r]的最长不下降子串长度一致的算法。通过预处理LIS，采用动态规划策略，确保修改后子序列长度不变。

D. Kirk and a Binary String

题意

给出一个01串S，长度 $\leq 100000$

请你构建一个01串P，长度与S相同

使得对于任意l,r， $1\leq l \leq r \leq S$

对于区间[l,r]的最长不下降子串长度相同

思路

由于只有1变为0，若[l,r]改变，[1,n]必定改变
- 我们可以将S分成若干的01串，且每个串前面都为0，后面都为1
- 比如将0111001101分成0111，0011，01
- [1,n]的LIS即为将每个段中取出0或1
- [L,R]的LIS求法与[1,n]同，若[L,R]改变，则必定有01分串改变
取上面的逆否命题，若[1,n]不变，[l,r]不变

对于区间[l,r]，若将位置i的1改为0

新的最长不下降子序列长度为：

设LIS(l,r)为l到r的最长不下降子序列，sum[x][l,r]为l到r中x的个数

若[l,i]均为0，显然可以改变为0，无影响
$L I S (l, r) = m a x (L I S (l, i - 1) + s u m [1] [i + 1] [r], s u m [0] [i - 1] + 1 + L I S (i + 1, r))$

前面的LIS加上后面的1或者后面的LIS加上前面的0
显然改变后，只改变了0,1个数，LIS[l][r]不改变

代码

预处理`LIS`

int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; pre_dp[i] = cnt, i++) {
	if (d[cnt] <= res[i]) d[++cnt] = res[i];
	else d[upper_bound(d + 1, d + 1 + cnt, res[i]) - d] = res[i];
}
cnt = 0;
d[cnt] = 2;
for (int i = n; i >= 1; suf_dp[i] = cnt, i--) {
	if (d[cnt] >= res[i]) d[++cnt] = res[i];
	else d[upper_bound(d + 1, d + 1 + cnt, res[i],greater<int>()) - d] = res[i];
}

`solve`

int pre_zero = 0, suf_one = 0;
for (int i = 2; i <= n; suf_one += res[i] == 1, i++);
int lis = pre_dp[n];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
	if (res[i] && lis == max(pre_dp[i - 1] + suf_one,
	                         pre_zero + 1 + suf_dp[i + 1])) {
		res[i] = 0;
		pre_zero++;
		suf_one--;
	} else {
		pre_zero += res[i] == 0;
		suf_one -= res[i] == 1;
	}
}

AC

char s[maxn];
int res[maxn];
int pre_dp[maxn], suf_dp[maxn];
int d[maxn];
int main() {
	scanf("%s", s + 1);
	int n = strlen(s + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) if (s[i] == '1')res[i] = 1;
	int cnt = 0;
	for (int i = 1; i <= n; pre_dp[i] = cnt, i++) {
		if (d[cnt] <= res[i]) d[++cnt] = res[i];
		else d[upper_bound(d + 1, d + 1 + cnt, res[i]) - d] = res[i];
	}
	cnt = 0; d[cnt] = 2;
	for (int i = n; i >= 1; suf_dp[i] = cnt, i--) {
		if (d[cnt] >= res[i]) d[++cnt] = res[i];
		else d[upper_bound(d + 1, d + 1 + cnt, res[i],greater<int>()) - d] = res[i];
	}
	int pre_zero = 0, suf_one = 0; for (int i = 2; i <= n; suf_one += res[i] == 1, i++);
	int lis = pre_dp[n];
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (res[i] && lis == max(pre_dp[i - 1] + suf_one,
			pre_zero + 1 + suf_dp[i + 1])) {
			res[i] = 0; pre_zero++; suf_one--;
		}
		else {
			pre_zero += res[i] == 0;
			suf_one -= res[i] == 1;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) s[i] = res[i] + '0';
	printf("%s\n", s + 1);
}