高阶同余方程——原根与指标

最新推荐文章于 2021-12-15 20:29:47 发布

qcwlmqy

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本文介绍了原根的概念及其求解方法，并详细解释了指标的概念。此外，还提供了一个使用BSGS算法求解指标的具体示例。

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原根与指标

阶

对于互质的数字a,n，满足 $a^x\equiv 1 \mod n$ 的最小正整数，

x称为a模n的阶

原根

如果r模n的阶刚好是 $\Theta(n)$ ,则我们称r是n的原根

我们计算原根的幂次模n，在一个循环节内，我们就能得到n的简化剩余系

原根求法

P为质数，如果g是P的原根，那么 $g^{\Theta(P)}\equiv 1 \mod P$ ,

当且仅当指数为 $\Theta(P)$ 的时候成立

根据欧拉定理推论， $g^x\equiv 1 \mod P$ 的最小正整数解为 $\Theta(P)$ 的约数，

因此我们只要枚举 $\Theta(P)$ 的约数并做检测即可

int getG(int n) {
	int i, j, t = 0;
	for (i = 2; (LL)i * i < n - 1; i++)
		if ((n - 1) % i == 0)
			q[t++] = i, q[t++] = (n - 1) / i;
	for (i = 2;; i++) {
		for (j = 0; j < t; j++)
			if (quickpow(i, q[j], n) == 1) break;
		if (j == t) return i;
	}
}

指标

对于式子 $g^a\equiv b \mod P$

我们称 a 是 b 模 P 的指标，即为 $l(b)=a$

$x\equiv y \mod P->l(x)\equiv l(y) \mod \Theta(P)$

$l(x^y)=y*l(x)$

$l(x*y)=l(x)+l(y)$

例题

给定整数 a，b，p，其中a，p互质，求一个非负整数 x，使得 $x^a\equiv b \mod p$

$l(x^a)\equiv l(b) \mod \Theta(p)$

$a*l(x)\equiv l(b) \mod \Theta(p)$

用 BSGS 求出指标，通过 exgcd 求解方程，用快速幂还原原数即可

注意 BSGS 的步长要根据询问数量来设置 BSGS 的步长 = 询问 * 模数/(步长)，即 $step=\sqrt{Q*p}$