KMP算法

参考博客:
1. 经典算法研究系列：六、教你初步了解KMP算法、updated
2. KMP算法的前缀next数组最通俗的解释，如果看不懂我也没辙了

字符串的匹配问题

假设文本是一个长度为n的数组T[1…n]，模式是一个长度为m<=n的数组P[1….m]。

找出所有在文本T=“abcabaabcaabac”中的模式P=“abaa”所有出现。
该模式仅在文本中出现了一次，在位移s=3处。

简单的字符串匹配算法

循环, 对n-m+1个可能的每一个s值检查条件P[1….m]=T[s+1….s+m]。
运行时间为O（(n-m+1) * m）

例： 目的字串target是banananobano,要匹配的字串pattern是nano

先将target和pattern串的第一个字符比较，如果相同就重复比较下一位，如果发现不同就将pattern整体右移一位，重新比较

时间浪费： 已经比较过的位置要重比一遍。如index =2，3，4，其中index=3的尝试是不必要的。

如果我们事先知道pattern本身的某些性质，可以不用每次匹配失败后都把index回退回去（pattern右移一位），在失配时直接把pattern移动到下一个可能的位置，就可以把根本不可能匹配的过程省略掉，kmp算法就是从此出发。

KMP算法

覆盖函数(overlay_function)

覆盖的定义
对序列a₀a₁…a_j,找最大的k,使它满足
a₀a₁…a_k=a_j-ka_j-k+1…aj,
即找到尽可能大的k，使pattern 前k字符与后k字符相匹配

覆盖函数含义
覆盖函数所表征的是pattern本身的性质，即pattern从左开始的所有连续子串的自我覆盖程度
比如如下的字串，abaabcaba

这里计数是从0开始的（也可以从1开始计数），其中-1表示没有覆盖

注意事项
如果选择较小的满足条件的k，那么当失配时，我们就会使pattern向右移动的位置变大，而较少的移动位置是存在匹配的，就会把可能匹配的结果丢失。
比如下面的序列，

在红色部分失配，正确的结果是k=1的情况，把pattern右移4位，如果选择k=0,右移5位则丢失了k=1的可能匹配结果。

计算
如果前一个字符i-1的next值是j，那么我们就把当前字符i与字串第j+1个字符进行比较

1. 相等 当前字符i的next值为j+1, 即next（i） = j + 1 = next（i-1） + 1

2. 不相等

   1. 前一个字符i-1的next值是0， 则当前字符的next值也为0

   2. 前一个字符i-1的next值不为0，则在前j个字符中找到h=next[j],如果pattern(h+1)==pattern(i),则next(i)=h,否则重复该过程

      如(a g c t a g c )( a g c t a g c) t， 到最后一个c时next值为7，到t时不匹配需要重新求next值

      

      t如果存在对称性，那么对称程度肯定比前面的c的对称程度（next值）小，要找更小的对称，必然在对称内部还存在子对称，而且这个t必须紧接着在子对称之后。如图所示
      

      子对称存在的证明： 将两个agctagc分别设为T1，T2，有T1 = T2，假设存在更小的对称，T11 = T22，则T1中存在T12 = T22， T2中存在T21 = T11，则T11 = T12, T21 = T22, 说明必然有子对称。

      故这里定位到T1末尾的c（index为j = 7），得知其next值为h = 3，且pattern(h+1) == pattern(i) == ‘t’，故当前字符t的next值为4。

示例代码如下，这里为从1开始计数

private int[] makeNext(String arr){
        int len = arr.length();
        int[] next = new int[len];
        for(int i = 1, j = 0; i < len;){
            if(arr.charAt(i) == arr.charAt(j))  next[i++] = ++j;
            else if(j != 0)   j = next[j-1];
            else next[i++] = 0;
        }
        return next;
    }

如”abaabcaba”的返回结果是0，0，1，1，2，0，1，2，3

KMP

当失配发生在j时，不用把index向回移动，index前面已经匹配过的部分在pattern自身就能体现出来，只要把pattern向右移动j-overlay(j)长度( 相当于将pattern_index改为overlay(j) )就可以了

如果失配时pattern_index==0，相当于pattern第一个字符就不匹配，这时应该把target_index加1，pattern向右移动1位。

老图了，有画错的地方，index=8和index=11处不应跳过，敬请见谅。

实战

Leetcode 28. Implement strStr()

Description
Implement strStr().
Returns the index of the first occurrence of needle in haystack, or -1 if needle is not part of haystack.
(找出needle在haystack中最早出现的index，没有返回-1）

Solution

public class Solution {
    public int strStr(String haystack, String needle) {
        int m = haystack.length(), n = needle.length();
        if(n == 0)    return 0;
        int[] next = makeNext(needle);
        for (int i = 0, j = 0; i < m; ) {
            if (haystack.charAt(i) == needle.charAt(j)) { 
                i++;
                j++;
                //字串匹配成功
                if (j == n) return i - j;
            }
            else{
                //pattern向右移动
                if(j > 0)   j = next[j-1];
                //第一个字符就不匹配
                else    i++;
            }
        }
        return -1;
    }
    //计算覆盖函数
    private int[] makeNext(String arr){
        int len = arr.length();
        int[] next = new int[len];
        for(int i = 1, j = 0; i < len;){
            if(arr.charAt(i) == arr.charAt(j))  next[i++] = ++j;
            else if(j != 0)   j = next[j-1];
            else next[i++] = 0;
        }
        return next;
    }
}