2022年第十四届全国大学生数学竞赛初赛（补赛）非数类难题集锦

详细解答见知乎文章，这里只讲一讲我印象最深的几道题。

一、(5) 设可微函数$f(x,y)$对任意$u,v,t$满足$f(tu,tv)=t^{2}f(u,v)$，点$P(1,-1,2)$位于曲面$z=f(x,y)$上，又设$f_x(1,-1)=3$（即${\frac{\partial f}{\partial x}|}_{(1,-1)}=3$），则该曲面在点$P$处的切面方程为________。

解：设曲面为$F(x,y,z)=0$，其中$F(x,y,z)=f(x,y)-z$，则曲面在点$(x,y,z)$的法向量为$(F_x,F_y,F_z)$，其中$F_x=f_x$，$F_y=f_y$，$F_z=-1$。故点$(1,-1,2)$处的切面方程为$f_x(1,-1)(x-1)+f_y(1,-1)(y+1)-(z-2)=0$。现在要求出$f_y(1,-1)$。

设$g(t)=f(tu,tv)-t^{2}f(u,v)\equiv 0$，则$g^{\prime }(t)\equiv 0$。而$g^{\prime }(t)=u{f}_x(tu,tv)+v{f}_x(tu,tv)-2tf(u,v)$，故有$u{f}_x(tu,tv)+v{f}_y(tu,tv)=2tf(u,v)$，两边同时乘以$t$得$tu{f}_x(tu,tv)+tv{f}_y(tu,tv)=2t^{2}f(u,v)$，其中$2t^{2}f(u,v)=2f(tu,tv)$。令$x=tu$，$y=tv$，即得$$x{f}_x(x,y)+y{f}_y(x,y)=2f(x,y)$$因此$$f_y(1,-1)=\frac{2f(1,-1)-f_x(1,-1)}{-1}=\frac{4-3}{-1}=-1$$故切面方程为$3(x-1)-(y+1)-(z-2)=0$，即$3x-y-z-2=0$。

但其实我考场上的想法不是这样的。回顾一下方向导数的定义，设$\mathbf{l}$是一个二维向量（即方向），其单位向量${\mathbf{e}}_l=\frac{\mathbf{l}}{\Vert \mathbf{l}\Vert }=(\cos \alpha ,\cos \beta )$，则$f$在点${\mathbf{x}}_0=(x_0,y_0)$处的方向导数为$${\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}|}_{{\mathbf{x}}_0}=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f({\mathbf{x}}_{}}{k}$$