【概率论笔记】正态分布专题

最新推荐文章于 2023-06-07 20:25:46 发布

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#概率论 #数学 #经验分享

本文详细介绍了从一维到多维正态分布的概念、性质及应用。涵盖了中心极限定理、一维正态分布的概率密度函数及其特性、多维正态分布的概率密度函数形式及其基本性质等内容。

文章目录

一维正态分布
多维正态分布
- n维正态分布
- 二维正态分布

一维正态分布

设 $X\text{\large\textasciitilde}N(\mu,\sigma^2)$ ，则 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ 函数图像：钟形曲线， $x=\mu$ 为对称轴且为最大值点，最大值为 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$ ， $\sigma$ 越小图像越尖锐。

$\mu=1,\sigma=1$ ：
$\mu=0,\sigma=\frac{1}{2}$ ：
$\mu=0,\sigma\in(0,5]$ ：
$\mu\in[-2,2],\sigma=\frac{1}{5}$ ：

标准正态分布 $N (0, 1)$ ：设 $X\text{\large\textasciitilde}N(0,1)$ ，则 $X$ 的概率密度函数记作 $\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ $X$ 的分布函数记作 $\Phi(x)$ ，满足 $\Phi(0)=\frac{1}{2},\quad\Phi(-x)=1-\Phi(x)$ 若 $X\text{\large\textasciitilde}N(\mu,\sigma^2)$ ，则 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\text{\large\textasciitilde}N(0,1)$ 。

$X\text{\large\textasciitilde}N(\mu,\sigma^2)\implies Y=kX+b\,\text{\large\textasciitilde}\,N(k\mu+b,k^2\sigma^2)$ （其中 $b\ne0$ ）

$X\text{\large\textasciitilde}N(\mu,\sigma^2)\implies E(X)=\mu,\ D(X)=\sigma^2,\ \sigma(x)=\sigma$

中心极限定理：

中心极限定理	条件	结论（当 $n$ 足够大时近似成立）
独立同分布中心极限定理	有有限的数学期望 $E(X_k)=\mu$ 和方差 $D(X_k)=\sigma^2\ne0$	$\overline{X}\text{\large\textasciitilde}N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right),\ \sum\limits_{k=1}^n X_k\text{\large\textasciitilde}N\left(n\mu,n\sigma^2\right)$
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理	$\eta_n\text{\large\textasciitilde}B(n,p)$	$\overline{X}\text{\large\textasciitilde}N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right),\ \eta_n\text{\large\textasciitilde}N(np,np(1-p))$

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