【数学原理】Hessian Matrix

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在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数。

二元函数的黑塞矩阵

由高等数学知识可知，若一元函数在点的某个邻域内具有任意阶导数，则在点处的泰勒展开式为：

，其中，。二元函数在

点处的泰勒展开式为：

其中，。将上述展开式写成矩阵形式，则有：

即：其中：

是在点处的黑塞矩阵。它是由函数在点处的二阶偏导数所组成的方阵。

多元函数的黑塞矩阵

将二元函数的泰勒展开式推广到多元函数，则在点处的泰勒展开式的矩阵形式为：

其中：
       （1），它是在点处的梯度。

       （2）为函数在点处的黑塞矩阵。

黑塞矩阵是由目标函数在点X处的二阶偏导数组成的阶对称矩阵。

利用黑塞矩阵判定多元函数的极值

定理

设n多元实函数在点的邻域内有二阶连续偏导，若有：

并且则有如下结果：

（1）当A正定矩阵时，在处是极小值；

（2）当A负定矩阵时，在处是极大值；

（3）当A不定矩阵时，不是极值点。

（4）当A为半正定矩阵或半负定矩阵时，是“可疑”极值点，尚需要利用其他方法来判定。

实例

求三元函数的极值。

解：因为，故该三元函数的驻点是。又因为，故有：因为A是正定矩阵，故是极小值点，且极小值。

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