差分约束及其模板

最新推荐文章于 2025-10-18 09:29:50 发布

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本文详细介绍了差分约束系统，并提供了一个SPFA算法的模板，用于解决《算法导论》中的实例。通过SPFA算法求解最优解，并讨论了初始距离对结果的影响。同时给出了差分约束的应用案例链接。

      关于差分约束，《算法导论》讲的挺明白的了。有一点要注意的是x1-x2<=w在图上对应的是x2->x1的边权为w的一条边，而不是x1->x2，这一点不要搞糊涂了。以下是我的差分约束的模板，解决的是《算法导论》上的例子：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAX = 50000;
const int INF = 0x7f7f7f7f;
const int N = 1005;

struct Node
{
    int v;
    int cost;
    int next;
};
Node node[MAX];

int n, m;
int adj[N];
int dist[N];
bool vist[N];//标记是否在队列中，即是否被访问
int cnt[N];//每个点的访问次数
int Que[N];//用于SPFA算法中的循环队列

bool spfa()
{
    int u, v, w;
    int head=1;//队头
    int tail=2;//队尾
    memset(vist, false, sizeof(vist));
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        dist[i] = INF;
    dist[1] = 0;//注意，下面讲解用到这
    vist[1] = true;
    Que[1] = 1;
    while (head!=tail)
    {
        u = Que[head];//队首出列
        vist[u] = false;
        head++;
        if(head==N)
            head=0;
        for (int i = adj[u]; i != -1; i = node[i].next)//开始松弛
        {
            v = node[i].v;
            w = node[i].cost;
            if (dist[v] > dist[u] + w)
            {
                dist[v] = dist[u] + w;
                if (!vist[v])
                {
                    vist[v] = true;
                    Que[tail++]=v;
                    if(tail==N)
                        tail=0;
                }
                if (++cnt[v] > n)//没有可行解
                    return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    int u,v,w;
    scanf("%d%d", &n, &m);//n代表有多少变量，m代表有多少关系
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        adj[i] = -1;
    for (int i = 1; i <=m; i++)
    {
        scanf("%d%d%d", &v, &u, &w);//dist[v] - dist[u] <= w
        node[i].v = v;
        node[i].cost = w;
        node[i].next = adj[u];
        adj[u] = i;
    }
    if(!spfa())
        printf("没有可行解\n");
    else
        for(int i=1;i<=n;i++)
            printf("%d ",dist[i]);
    return 0;
}
其中文件in.txt中的内容是：
5 8
1 2 0
1 5 -1
2 5 1
3 1 5
4 1 4
4 3 -1
5 3 -3
5 4 -3
运行的结果是：0 2 5 4 1 而导论上给出的是-5 -3 0 -1 -4。由引理24.8这是没问题的，都多了5。其实这是因为我们把dist[1]初始化为了0，如果我们把dist[1]初始化为-5，就可得到导论上的可行解。
      关于差分约束的应用可以看一下这道题目：http://blog.sina.com.cn/s/blog_7c2a1aa30100qcmx.html