乘法逆元

乘法逆元：

设ax≡1%b，则称x为a关于模b的乘法逆元。

 

Q：为什么要使用乘法逆元呢？

A：假设要求(a/b)%c，a非常大(求出a的过程超出整型范围)无法直接求出值，所以希望可以想但是除法没有对应的模算术，所以出现了乘法逆元。

证明：

设bx≡1%c，则b*x=p*c+1得x=(p*c+1)/b

把x带入(a*x)%c中，

变为 [a*(p*c+1)/b]%c

=[(a*(p*c)/b)%c+a/b]%c    (因为[c*(a*p)/b]%c=0)

=(a/b)%c

乘法逆元的求法：(扩展欧几里德算法)

求解ax≡1%b

ax=by+1得ax-by=1,则a,b必然是互质的。如果不互质则无解。

 

 

参考白书：

void gcd(int a,int b,int& d,int& x,int& y)
{
  if(b==0){d=a;x=1;y=0;}
  else {gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}

int inv(int a,int n)
{
   int d,x,y;
   gcd(a,n,d,x,y);
   return d==1?(x+n)%n:-1;
}//互质才能有正确的答案