q322359的博客

​ 现在博主来介绍如何通过归并排序来解决该题，博主就默认大家是很理解归并排序的，要是不理解一定要先理解了归并排序才能看懂下面的内容，推荐看归并排序（递归）题目要求统计逆序对个数，我们可以将数组分为左右两个区间，先统计左区间的逆序对个数 A，再统计右区间的逆序对个数 B,最后统计左区间取一个数据，右区间取一个数据组成的逆序对的个数 C,通过 A+B+C 便能得到数组中所有的逆序对个数，其中，统计左区间的逆序对个数 A 和右区间的逆序对个数 B 与统计整个数组的逆序对相同，所以是递归操作

​ 对于该题的解法，本编博客是基于归并排序之上来进行解决的，所以清楚归并排序的流程非常重要，如果对归并排序不清晰，推荐先看归并排序（递归） 现在我就认为大家是已经对归并排序了如指掌的，我们先来分析一下本题如何解决，如果采用暴力解法的话是很简单的，如下，用 i 指针指向下标 0 ，j 指针指向下标 1 ，判断此时 i ，j 指针指向的数据是否为逆序对，然后让 j 指针向后移动，遍历完以后再将 i 指针向后移动，j 指针在 i 指针之后重新遍历，时间复杂度为 O（n^2），这个时间复杂度在

该题简单来说就是去获取数组中最小的 cnt 个数，解决该问题有很多的方法，可以将数组直接排好序，返回最小的 cnt 个数，时间复杂度为 O（nlogn）,也可以使用大根堆来辅助解决，时间复杂度也为O（nlogn），该题我们采用的是快速选择的方法，时间复杂度能达到 O（n）

要先随机取一个基准数据 key，按照基准数据 key 将数组划分为 3 个区间，分别是 > key , = key ,< key 的区间，根据每个区间的数据个数，判断第 K 个最大元素在哪一个区间，再去该区间用同样的方式寻找数据。当 k key 的区间，那么我们在区间【right，R】（> key）的区间中继续执行相同的操作去寻找第 K 个最大元素（递归）对于将数组通过基准元素划分为 3 个区间的方法推荐先看。快速选择方法的核心就是快速排序的核心，

本题是一个简单排序数组的题，该篇博客中我们采用快速排序的方法来进行排序 快速排序的核心就是随机选择一个基准数据，按照基准数据将数组划分为 3 个部分，分别是 < key,= key ，> key 的三个部分

其中 left 指针指向最后一个 0 的位置，right 指针指向第一个 2 的位置，i 指针用来遍历数组，划分遍历到的数据。（2）.nums[ i ] = 1 ,由于 1 区间就在 i 下标之前，所以当前遍历到的数据 1 实际上就在 1 区间中，本题的含义很清晰，对于数组中 0，1，2 三种数据，我们要将其进行排序，如果用普通的排序方法来解决该题不是最好的办法。当 i = right 时就不存在未处理的数据了，处理完毕，划分结束。

当 i 继续向下遍历，遍历到 c 字符，先要判断此时是否有已经叫好在休息的青蛙，hash 数组中 k 字符对应的个数就是休息青蛙的数目，此时有 1 只青蛙在休息，所以不需要新的青蛙来叫，直接让正在休息的这个青蛙叫即可。，但此时在 hash 数组中 c 字符对应的数据为 1 ，代表有 1 个青蛙叫到了 c 字符，可以让叫到 c 字符的青蛙继续叫 r 字符，所以在 hash 表中 c 字符对应的数据 - - ，r 字符对应的数据 ++本题采用的解法是模拟，模拟题目的要求，找到最终的结果。

根据上述要求，R 指针移动到当前位置，此时 R 指针指向的数据和 L 指针指向的不同，L 指针指向的就是当前数的数据，个数为 R - L，将个数和数据拼接到字符串中，得到 21。同理，当 L 和 R 指针相同 R 指针就向后移动,要注意边界，R 指针移动到字符串边界时要停止，得到数据 2 个数 R - L = 3 ，将其拼接到字符串中得到 2132。先让 L 和 R 指针指向下标为 0 的位置,描述的核心就是要获得连续字符的个数，首先判断 R 指针和 L 指针指向的数据是否相同，相同 R 指针就向后移。

可以来找以下其中含有的规则，我们要获取的正确答案就是从左到右逐行读取，首先要读取的是第 0 行（首行），读取到 P I N ,在字符串中的下标对应为 0 ，6 ，12，下标之间相差 6 ，P 到 L 有 6 个字符，所以。对于 1 ~ numRows - 2 行的字符，可以每两个字符为一组，如字符 A ,L 为一组，A 的下标为 1 （行的下标与第一个字符的下标相同），L 的下标为 5 ，可以发现。，通过 这两个下标分别加上 d ，得到下一组字符的下标，获取所有符合条件的下标对应的字符即可。

根据上图，假设 timeSeries 数组中的内容为 1，2，4，7 ，这是刷新中毒状态的时间，在时间 1 和 2 之间中毒的持续时间为 2 - 1 =1，此时 timeSeries[ i ] - timeSeries[ i-1 ] = 1 < duration ，这是在时间 1 中的毒。在时间 2 和 4 之间 timeSeries[ i ] - timeSeries[ i-1 ] = 4 - 2 =2 = duration ，中毒的持续时间为 duration=2 ，这是在时间 2 中的毒。

通过题意我们要发现一些解题的方向，要将字符串中的？改为其他的字符，并且不能存在连续重复的字符，假设？所在的下标是 i ,那么？在第一位，要是去获取 i - 1 下标的字符会出现溢出，所以当 i == 0 时就不需要判断替换的字符是否等于 i -1 的字符了，情况（2）也是一样。所以核心的解题思路就是：先遍历字符串，找到？，然后再遍历 a ~ z 的字符，找到其中符合条件的字符。情况（3）就是普遍情况，需要判断替换的字符和？之前以及之后的字符是否相同，只有不同才能替换？

进行异或操作时，相同的比特位为 0 ，不同的比特位为 1 ，我们现在有的数据是 tmp = a^b（a，b 是要获取的缺失的数），既然想要分离 a，b 的话，就需要找 a，b 的不同之处，我们可以找出 tmp 比特位为 1 的下标，比特位为 1 就代表该下标 a 和 b 的比特位不同，将该下标比特位为 1 的数和比特位为 0 的数分开，这样 a 和 b 肯定就分开了。首先需要了解异或的一些特性，a^0 = a, a^a = 0,简单来说异或的特性就是两个相同的数进行异或可以互相抵消。

由上述条件我们知道，nums 数组中要是没有这单独的数字，那么里面的数都是 3 个，这也就代表每个比特位的数据总和都是 3 的倍数，在 nums 数组中有一个单独的数字就会导致每个比特位的总和 % 3 会有余数，这个余数就是单独的数字在 i 比特位上的数据。通过上述方法，依次获取单独的数字在每一个比特位上的数据，我们便得到了要找的单独的数字。外，其余每个元素都恰出现。中，除某个元素仅出现。

由上面的推算可以看出，进位 = a & b ,所以 2 + 3 的进位为：0010 & 0011 = 0010，但是进位是加到前一位的，所以实际上此时得到的进位还需要

以示例1为例，nums=【0，1，3】，根据数组的长度为 3 可以知道，完整的数据应该是 0，1，2，3，我们可以将完整的数据和 nums 中的数据进行异或，这样的话 0，1，3 都有两个数据可以互相抵消，2 只有一个数据无法抵消，最终异或得到的结果就是 2，便得到了题目想要的结果。相同的两个数异或可以互相抵消。

通过遍历获取到字符串中的一个字符后，要判断该字符之前是否出现过，即判断该字符所对应的二进制位是否为 1 ，比如现在得到了一个字符 b ，前四个二进制位为 0110 ，首先用字符 b - a 得到偏移量 1，让二进制位向右偏移 1 位，二进制位为 0011 此时 b 字符对应的二进制位移到了第一位，让 0011 & 1，得 1，代表 b 字符对应的二进制位为 1，说明之前 b 字符就存在于字符串中了，返回 false。本题属于很简单的一道题，有很多的解题方法，这里介绍一种不是太普遍的方法，通过。

看了上述博客后解决该题目的主体就懂了，现在就要介绍一些细节问题，假设要计算的二维数组是（x1，y1）到（x2，y2）区间，按照题目的要求进行计算时会出现越界的情况，x1 和 y1 下标会出现比 0 小的情况，此时就需要把 x1 和 y1 放到 0 位置上，如下图所示，x2，y2 的下标会出现比 m-1，n-1 大的情况，此时也需要把 x2，y2，放到 m-1，n-1 的位置上。关于填充二维前缀和数组，以及如何利用二维前缀和数组计算出指定区间中的数据和，都在之前的博客中详细写过，推荐看。

i 此时指向 1 ，前缀和为 0 ，所以在哈希表中找的 key 值就是 0，哈希表中没有，但是我们知道以当前位置为末尾是有符合条件的子数组的，就是 0，1，通过上面画的图知道，子数组的长度为 i - j ，此时符合条件的子数组长度为 2 ，i 为 1，所以 j 为 -1，所以我们要在哈希表在填入的初始数据为 （0，-1）当不同的下标对应相同的前缀和时，应该存储较小的下标，因为较小的下标离 i 下标较远，得到的子数组长度更长。，可以通过 j 下标与 i 下标的距离得到符合条件的子数组的长度。

如上图所示，x 是以 i 为尾符合条件的子数组之和，可以推出：sum[ i ] - sum[ j ] = x ,以及 x % k = 0 ，得到 （sum[ i ] - sum[ j ]）% k = 0；，因为数组中存在负数，所以 sum[ i ] 可能为负数，在 java 中，负数 % 正数得到的是负数，为了去除负数的影响，所以在取模时不能直接用 sum[ i ] % k ，而是应该用式子 （ sum[ i ] % k + k）% k。以该方法遍历所有的下标，便能得到所有符合条件的子数组的个数。

如上图，我们要统一以下标 i 为尾的符合条件的子数组个数，就需要在 0~ i -1 中找到下标 j ，使 j 到 i 之间数据和为 k，即我们要 0~ i -1 找到 j 下标使 sum[ j-1 ] = sum [ i ] - k ，找到多少个符合条件的 j 下标就代表以下标 i 为尾的符合条件的子数组个数有多少个，更简单来说就是，sum [ 0 ] - k = 1 - 3 = -2，在哈希表中没有 -2 这个前缀和对应的数目，所以没有符合条件的子数组，i 向下遍历，将当前的。

但其中有一个细节需要注意，在填充数组 f 时，当 i =0 ，会出现 -1 这个越界下标，所以我们需要提前初始化，当下标为 0 时，前缀积为 1，同理，在填充数组 g 时，当 i =nums.length -1 ，会出现 nums.length 这个越界下标，所以我们需要提前初始化，当下标为 nums.length 时，后缀积为 1。本题的题意描述得很清晰，我们要计算 nums 数组中每个下标除自身以外数组的乘积，对于 nums=【1，2，3，4】，result[ 1 ] = 1*3*4 = 12,

要判断左右两边的数据是否相同，我们可以判断左右两边的数据和之差是否为 0 ，如果为 0 ，就说明左右两边的数据和相同，我们可以利用数组 dp 来存储对应下标左右两边的数据和之差，如 dp[ i ] ,就代表 i 下标左右两边的数据和之差，当 dp[ i ] = 0 时就代表 i 下标左右两边的数据和相同，i 下标就为中心下标。本题的意思很简单，我们需要找到一个中心下标，中心下标左边和右边的数据和是相等的，在遇到一个题时，我们先想一下它的暴力解法，因为优化解法通常是由暴力解法演化而来的。

我们想要计算 dp[ i ][ j ] ，即从（1，1）~ （i，j）这个区间内的数据总和，根据右边的图，我们要计算的就是 A+B+C+D 的面积，我们可以将该式子替换为 (A+C)+(A+B)-A+D,A+C 的面积就是 dp[ i ][ j-1 ] 的值，A+B 的面积就是 dp[ i-1 ][ j ] 的值，A 的面积就是 dp[ i-1 ][ j-1 ] 的值，D 的面积就是 arr[ i ][ j ] 的值。根据该式子，当 i=0 或 j=0 时就会有 -1 的下标，就存在越界问题。

填充完 dp 数组后，我们便要使用 dp 数组来解决问题，假设 l =3，r = 5，要获取下标 3~5 的数据和，我们可以用 1~5 的数据和 dp[ 5 ] 减 1~2 的数据和 dp[ 2 ],即 dp[ r ] - dp[ l-1 ],所以我们要获取的结果 result = dp[ r ] - dp[ l-1 ]以数据 1，2，4，5，7，6 为例 ，根据题意我们知道，在题目中，数组的下标从 1 开始，而我们的 dp 数组的下标也应该从 1 开始（对于频繁计算一个区间的数据和，我们通常可以采用。

要注意一种特殊情况，当输入的 records = 0，1，2，3，4 时，对应的下标也是 0，1，2，3，4 ，此时下标和值一直都是对应相等的，所以一直都处于左区间，这就会导致当 L 和 R 相遇在数组的最后一个数据 4 上，对应的下标也为 4 ，但我们要填充的是 5 ，所以要判断一下，当 L 和 R 指针相遇时，如果 records[ L ] == L ,就返回 L +1，否则返回 L。缺席的数据是 3 ，我们很容易发现 3 就是右区间左边界的下标，所以我们的目标就是找到右区间的左边界的下标。

以 nums = 3，4，5，1，2 为例，用 L 和 R 指针指向数组的两端,mid = left+（right-left）/2= 2 .此时 R 指针指向的刚好是数组的最后一个数据，我们可以顺便记录起来，作为参照值，refer = nums[ R ] = 2。通过题意我们知道，传入的参数是经过旋转的递增数组，如 3，4，5，1，2，就是通过 1，2，3，4，5 旋转得到的，而这种旋转数组的特性我们可以通过一张图清晰的看出来，以 3，4，5，1，2 为例。要获取的答案位于下面区间的左边界。

当 nums[i]>nums[i+1]时，i 下标的左边肯定存在一个峰值，因为最左边是 - ∞ ，所以必定需要经历递增，再在 i 这里经历递减，所以必定存在一个峰值，但 i 的右边，可能不会存在峰值，因为可以直接递减到 - ∞，所以我们可以大胆的去除掉 i 右边的数据（i 下标指向的数据不能去除，因为我们不确定 i 是否就是要找的峰值）当 nums[i] < nums[i+1]时，i 下标的右边肯定存在一个峰值，但 i 的左边，可能不会存在峰值，所以我们可以大胆的去除掉 i 左边的数据和 i 的值。

通过该划分，我们要找的数据就是递增区间中的右边界，当我们在数组中随机选择一个数 arr[ i ] ， 如果 arr[ i ] > arr[ i-1 ] ,就代表该数在递增区间，我们便可以大胆排除该数左边的数据（计算 mid = 3，此时 arr[ mid ] < arr[ mid -1 ],所以 mid 指向的值在递减区间，让 R = mid -1。我们对上述的数组进行分析，我们可以将数组划分为两个区间【1，2，3】是递增区间，【2，1】是递减区间，在图中的划分就是。2. 山脉数组由整数组成。

我们可以将 0，1，2，3，4 和 0，1，2，3，4，5，6，7，8 这两个区间进行划分，【0，1，2】是i 的平方 x 的区间；比如 x =8 ，我们需要遍历 0，1，2，3，4，5，6，7，8 当 i =2 时，2*2 = 4 < 8,我们向前遍历，当 i = 3 时，3*3 = 9 > 8 ,所以我们得到 2。比如 x = 4，我们需要遍历 0，1，2，3，4，当 i = 2 时，2*2 =4 ，得到结果 2。以 x = 8 为例。

当 target 的值在数组中不存在时，我们要将 2 放置到 m 指针指向的位置，我们可以看出，m 指针左边的数据都是小于 target 的数据，m 右边的数据都是 >= target 的数据，所以我们可以将数组划分为两个区域【1】是< target 的区域，【3，5，6】是 >= target 的区域，我们要找到的下标便是 >= target 的区域的左边界。我们再次计算中点 mid = 1在< target 区间，所以 mid 指向的数据肯定不会是左边界，所以直接让 L 指针 = mid+1。

此时我们想要获取 8 这个数据的起始位置（左边界），我们可以将数组划分为两个部分【5，7，7】【8，8，10】，【5，7，7】的部分是< target 的，【8，8，10】的部分是 >= target 的，我们选取中点 mid = 7 ，7 在 < targe部分，所以 mid 指向的数据肯定不是左边界，于是让 L 指针指向 mid+1 的位置。，简单来说就是，当数据的个数为偶数时，中间节点有两个，如果查找的是左区间，就去左边的节点为中间节点，如果查找的是右区间就取右边的节点为中间节点，为什么呢？

L 指针向右移动前，我们需要判断 L 指针指向的字符是否是有效字符，L 指针指向的字符是 A , A 字符在 hash2 中的个数为 1，在 hash1 中的个数为 1，所以该字符 A 是有效字符，在 L 指针移动前需要将 hash2 中的个数减 1 ，即在 hash2 中 A-0，count 减 1 为 2。一种是 L 指针原来指向的字符是有效字符，此时 L 和 R 之间的子串不满足要求，需要 R 指针向右移动，扩大讨论的子串，所以即使 R 指针回到 L 指针的位置，也需要回到现在的位置再向右移动。

录入字符串 bar 的信息以后，R 指针向右移动 size 位，录入下一个字符串 foo，将 foo- 1 保存到 hash2 中，由于在hash1 中 foo-1，，所以 foo 是有效字符，此时 count++，count=2，因为此时子串为 barfoo 长度为 6 == size*length ，并且 count == 2 == length，所以该子串是符合要求的，我们就直接记录 L 指针指向的下标 0。将 words 数组中的相关信息保存到哈希表 hash1 中，foo-1，bar-1。

将 R 指针向右移动，此时子串的长度 right - left + 1 = 4 > p.length,代表以 L 指针指向的字符为首的字符串已经遍历完毕，让 L 指针向右移动,并在 hash2 中将字符 b 对应的 value 值减 1 ，由于字符 c 对应的 value 值为 1 ，小于等于 hash1 中字符 b 对应的 value 值，所以字符 c 是关键字符，在将 L 指针移动以后，要将关键字符数量 count 减 1。count 变量记录当前子串有效字符的个数。

首先需要遍历找出符合条件的子数组，让 L 和 R 指针指向下标为 0 的位置，L 和 R 指针之间便是我们当前要讨论的子数组，我们用一个哈希表 fruitNums 来记录篮子里已经装的水果种类和数量，用 count 来记录当前篮子里已经有的水果种类，当 R 指针指向 1 时，我们就需要在哈希表中添加 key =1，value=1 的信息，代表篮子中有 1 个种类为 1 的水果，由于之前哈希表中没有种类 1水果的相关信息，代表篮子中的水果种类增加 1 ，此时 count = 1，记录当前的水果数量 1。

我们要移除最左边或者最右边的元素，让 x 的值减为 0 ，就相当于，我们要选取最左边或最右边的值，让选取的值相加为 x ，由于我们只从最左或最右边开始选取，这就代表，选取值以后，剩下没有被选取的值是连续的，说明是原数组的一个子数组。我们让指针 L 和 R 指向下标 0 ，L 和 R 指针之间的数据便是我们要讨论的子数组，当 子数组的和小于 target 时，我们让 R ++ ，扩大我们讨论的子数组。），此时以 L 指针为首位的子数组已经讨论完毕，我们让 L++与之前保存的长度进行比较，取较大的保存。

答案是不需要，因为 R 指针到达当前位置，0 的个数才增多，子数组才不符合要求，这也代表，R 指针之前的数据都是符合要求的，即使我们让 R 指针回到 L 指针的位置从头开始讨论，R 指针也一定会移动到当前位置，所以没有必要让 R 指针回去，此时 zero =3 不符合要求，我们让 L ++ 直到符合要求为止。当 L 指针移动到当前位置时，zero = 2 = k，符合要求，记录当前讨论的子数组的长度，就可以让 R ++，继续扩大我们讨论的子数组长度。当前长度与之前保存的长度进行比较，取较大的保存。

该题我们可以采用滑动窗口的方法来解决，对于子数组，字串的题都经常用到滑动窗口的解决方法 题目的要求是：1.要获得最长子串的长度 2.子串中不含有重复字符 我们首先看到题目后可以想到的暴力解法就是，去获取字符串中所有的子串，筛选出不含有重复字符的字串，获取其中最长子串的长度，而滑动窗口方法就是在这基础上进行优化 我们以题目给出的示例 1 来进行说明，输入: s = "abcabcbb"，一般遇到输入为字符串的题，通常都需要把字符串转换为字符数组，

该题我们可以采用滑动窗口的方法来解决，对于子数组，字串的题都经常用到滑动窗口的解决方法 我们要想获得长度最小的子数组，首先就能够想到一种暴力方法，就是去获取数组中的所有子数组，再进行遍历找到符合条件且长度最小的子数组，而滑动窗口的解决方法是基于该思想实现的，但是进行了优化

题目中有要求，要去除重复的数据，当我们排序以后相同的数据都会靠在一起，我们上一轮已经将 nums[ L ] 为 0 的值获取了，此时 nums[ L ] 依然为 0，即使有符合条件的 nums[ R ] 也是重复的要排除掉，所以当 nums[ L ] == nums[ L-1 ] 时，就直接 L ++ 跳过（在跳过时要注意边界问题），对于 R 指针也是一样的处理，当 nums[ R ] == nums[ R+1 ] 时，就直接 R- - 跳过。的单调性和双指针的方式解决。