【动态规划】钢条切割问题

本人在学习《算法导论》的过程中，对于动态规划这部分的内容不是特别理解，于是决定做一下学习与解决记录，欢迎讨论交流。

0- 动态规划问题的一般步骤

1- 刻画一个最优解的结构特征
2- 递归定义最优解的值
3- 计算最优解的值，通常采用自底向上的方法
4- 利用计算出的信息构造一个最优解

1- 问题描述

Serling 公司购买长钢条，将其切割为锻钢条出售。切割工序本身没有成本支出。公司管理层希望知道最佳的切割方案。
假定我们知道Serling公司出售一段长度为i英寸的钢条的价格为pi(i = 1, 2,…,单位为美元)。钢条的长度均为整英寸。下表给出了一个价格表的样例。

长度i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
价格p(i)	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30

2-问题分析

钢条切割问题是这样的：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表p(i)(i = 1, 2,…,n),求切割钢条方案，使得销售收益rn最大。注意如果长度为n英寸的钢条价格p(n)足够大，最优解可能是完全不需要切割。

考虑n=4的情况。下图给出了4英寸钢条的所有可能切割方案，包括根本不切割的方案。从下图可以看出，将一段长度为4英寸的钢条切割为两段各长为2英寸的钢条，将产生p(2)+p(2)=5+5=10的收益，为最优解。

图1 钢条切割方案

对于最优收益r_n(n≥1)可以用更短的钢条的最优收益来描述：

r _n = max(p _n,r ₁+r _n-1,r ₂+r _n-2,...,r _n-1+r ₁)

第一个参数p_n对应不切割，直接出售长度为n英寸的钢条的方案。其中n-1个参数对应另外n-1种方案：对每个i = 1, 2, …, n-1,首先将钢条切割为i和n-i的两段，接着求解这两段的最优切割收益r_i和r_{n -i}（每种方案的最优收益为两段的最优收益之和）。由于无法预知那种方案的将获得最佳收益，所以必须考虑所有可能的i，选取其中的收益最大者。如果直接出售圆钢条会获得最大收益，当然可以不做任何切割。

可以看出，通过组合两个子问题（完成首次切割之后，即将问题转化为求解两个独立的钢条切割问题实例）的最优解，并在所有可能得两段切割方案中选取组合收益最大者，构成原问题的最优解。

钢条问题是满足最优子结构的（optimal substructure） 性质的：问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成，而且这些子问题可以独立求解。

3-自顶向下递归实现

简单的递归求解方法： 将钢条从左边切割下长度为i的一段，只对右边剩余的长度为n-i的一段继续进行切割（递归求解），对左边的一段则不再进行切割。问题的分解方式为：将长度为n的钢条分解为左边的开始一段，以及剩余部分继续分解的结果。这样，不做任何切割的方案可以描述为：第一段的长度为你n，收益为p_n，剩余部分的长度为0，对应的收益r₀=0。 于是可以得到如下公式：

r _n = max(p _i +r _n-i)

原问题的最优解只包含一个相关子问题（右边剩余部分）的解。下面给出朴素递归算法的解：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits.h>
#include <algorithm>

using namespace std;

vector<int> price{
   
   1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30};//钢条对应的价格

int CutRod(vector<int> &price, int length){
   
   
    if(length == 0) return 0;//如果钢条长度为0，直接返回
    int maxvalue = INT_MIN;//因为钢条价格为正值，所以首先默认maxvalue为最小值
    for(int i = 1; i <= length; ++i){
   
   
    //取前一次迭代算得的maxvalue与本次迭代结果的最大值
    //迭代：当前钢条段的价值 + 剩余右边钢条的价值
    //（这里因为下标从0开始，所以有-1）
        maxvalue = max(maxvalue, price[i - 1] + CutRod(price, length - i));
    }
    return maxvalue;
}
int main() {