基于C++实现的大整数计算

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1、实验题目

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大整数（big integer）：位数很多的整数，普通的计算机不能直接处理，如：9834975972130802345791023498570345。

对大整数的算术运算，显然常规程序语言是无法直接表示的。编程实现大整数的加、减、乘运算，需考虑操作数为0、负数、任意位等各种情况。

要求利用分治法，时间复杂度不高于O(n2)。

2、设计思路

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2.1 概要设计

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设a和b分别为两个大整数，它们的位数过长，以致计算机中没有变量可以一次性存下来，所以要对其进行拆分。使用分治算法的思路是：

将a表示为a = a1×10^k + a2，b表示为b = b1×10^j + b2;

其中k是a2的位数，j是b2的位数。也就是把大整数分成了高位和低位，这样，a×b = a1×b1×10^(j+k) + a1×b2×10^k + b1×a2×10^j + a2×b2；

两个大数相乘变成了四个较小的数相乘，四个较小的数可能仍然过大，可以继续分解，直到分解为每个数都是个位数，再进行算数运算，这个过程使用递归。

2.2 详细设计

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具体计算时，需要先实现加法和减法，才能实现乘法，而且在算数运算过程中还要用到一些辅助函数。

2.2.1 加法

用字符串存放大整数，在进行运算前，先要判断两个大数的符号：

假如都为负数，则去掉最高位的负号，用绝对值进行加法，最后在结果的最高位恢复负号；如果一正一负，则转换为减法，直接调用大数减法函数；如果两者皆为正数，则继续运算。

加法运算过程不需要递归，将两个字符串从末端开始取字符，转换成数字后进行加法，大于9则进位，最终结果仍以字符串返回。

2.2.2 减法

与加法类似，先判断符号，两个一正一负的两个数相减时，转换成加法，调用加法函数；两个负数相减时，用绝对值相减，最后加上符号。

2.2.3 移位

在前面的分析中，高位的数乘上了一个10的幂次方，在实际运算过程中，通过在字符串末尾增加字符0的方法来实现，所以将这一功能封装为一个移位函数。

2.2.4 对齐

对于计算的两个数的位数不等的情况，在较短的数之前补零使两者等长，这一过程也用函数实现。

2.2.5 乘法

先将两个大数各自拆分成两部分，再递归调用大数乘法函数，将四个小数相乘，相乘的结果再用前面实现的大数加法加起来，得到最后的结果。递归的结束条件是，数字的尾款为0或1。

3、运行演示

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在程序中给出了一组测试用例，a = 1234567890，b = 9876543210，运算结果如图2-1，分别输出两数之和、差、积。

继续输入测试用例，a的值不变，b取原值的相反数，测试一正一负的计算，结果如图2-2，可见乘积的绝对值不变，但是多出了负号。

再测试两个负数的计算，a = -1111222233334444, b = -5555666677778888，运算结果如图2-3，乘积为正数。

测试0的运算，a = 0，b任意输入一个值，运算结果如图2-4，两数之和为b，差为-b，乘积为0。