CKKS Part4: CKKS的乘法和重线性化

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• 介绍
  • 基本概念
• 密文-密文乘法
• 重线性化

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本文翻译于CKKS EXPLAINED, PART 4: MULTIPLICATION AND RELINEARIZATION，主要介绍CKKS方案中的密文乘法和重线性化技术

介绍

在上一篇 CKKS Part3: CKKS的加密和解密 ，我们看到了如何基于RLWE问题创建同态加密方案，实现同态加法和密文明文乘法。

虽然执行密文-明文乘法很容易，但正如我们将看到的，密文-密文要复杂得多。事实上，我们需要处理很多事情才能正确地完成它，比如找到正确的操作，这样一旦解密，我们就可以得到两个密文的乘积，以及管理密文的大小。

因此，本文将介绍密文乘法和重新线性化的概念，以减少生成的密文的大小。

基本概念

为了了解我们将如何在CKKS中执行密文-密文乘法，让我们回顾一下我们在前一篇文章中看到的内容。

首先，记住我们研究的是多项式空间Rq=Zq[X]/(XN+1)Rq=Zq[X]/(XN+1)R_{q}=\Zeta _{q}\left[ X \right]/\left( X^{N}+1 \right)。我们将s作为我们的私钥，然后我们可以安全地输出一个公钥p=（b，a）=(−a. s+e，a），其中a均匀取样RqRqR_{q}、 e是一个小的随机多项式。

然后我们有Encrypt(u,s)=c=(c0,c1)=(u,0)+p=(b+u,a)∈R2qEncrypt(u,s)=c=(c0,c1)=(u,0)+p=(b+u,a)∈Rq2\mbox{E}ncrypt\left( u,s \right)=c=\left( c_{0},c_{1} \right)=\left( u,0 \right)+p=\left( b+u,a \right)\in R_{q}^{2}是明文u∈Zq[X]/(XN+1)u∈Zq[X]/(XN+1)u \in \Zeta _{q}\left[ X \right]/\left( X^{N}+1 \right)使用公钥p的加密操作。要使用私钥s解密密文c，我们执行以下操作：

Decrypt(c,s)=c0+c1.s=u+eDecrypt(c,s)=c0+c1.s=u+eDecrypt\left( c,s \right)=c_{0}+c_{1}.s=u+e
然后我们发现定义一个在密文上的加法运算CAdd（c，c’）𝙲𝙰𝚍𝚍（c，c′）𝙲_{𝙰𝚍𝚍}（c，c′）很容易，所以一旦我们解密CAdd𝙲𝙰𝚍𝚍𝙲_{𝙰𝚍