数学——博弈论

推荐四道比较好的博弈论题目和sg函数题目，如下：

Fibonacci again and again

杭电oj经典题

分析：整个游戏由三堆独立的石子组成。我们可以分别分析只有一堆石子的情况，然后将结果合并。定理指出，整个游戏的 SG 值是各个独立子游戏 SG 值的 异或 (XOR) 和。 即：SG(m, n, p) = SG(m) XOR SG(n) XOR SG(p)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 20, M = 1010;

int fib[N], sg[M];

void init()
{
    fib[0] = 1;
    fib[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++)
    {
        fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];
        if (fib[i] > M)
        {
            fib[i] = 0;
            break;
        }
    }
    sg[0] = 0;
    for (int i = 1; i < M; i++)
    {
        map<int, int> vis;
        for (int j = 0; fib[j] <= i && fib[j] != 0; j++)
        {
            vis[sg[i - fib[j]]] = 1;
        }
        int mex = 0;
        while (vis[mex])
            mex++;
        sg[i] = mex;
    }
}

int main()
{
    init();
    int m, n, q;
    while(cin >> m >> n >> q &&(  m!= 0 || n != 0 || q != 0 )){
        int ans = sg[m] ^ sg[n] ^ sg[q];
        if (!ans)
            cout << "Nacci" << endl;
        else
            cout << "Fibo" << endl;
    }
    return 0;
}

C. Battle

知识点：sg函数

2023江西省赛C题。

p 是奇数时，sg(x) = x % 2。为什么呢？

• 手推一下可以发现 sg 值就是 0, 1, 0, 1, 0, 1... 这样交替出现的。这个序列正好就是 x % 2。所以，当 p 是奇数时，sg(x) 就等于 x 的奇偶性。

当 p 是偶数时，代码的逻辑是