基于时序差分的无模型强化学习：Q-learning 算法详解

一、无模型强化学习中的时序差分方法与Q-learning

  动态规划算法依赖于已知的马尔可夫决策过程（MDP），在环境的状态转移概率和奖励函数完全明确的情况下，智能体无需与环境进行实际交互，即可通过解析方法计算出最优策略或价值函数。然而，现实中的大多数强化学习问题通常无法明确环境的状态转移模型或奖励函数，这使得动态规划在许多复杂场景下难以应用。为了应对这一局限，无模型强化学习（model-free reinforcement learning）应运而生，智能体通过与环境的交互采样数据，并依据采样结果进行学习，从而实现策略优化。无模型强化学习不依赖于对环境的精确建模，这使其在复杂的物理环境或电子游戏等应用场景中具有更广泛的适用性。

  在无模型强化学习中，基于时序差分（temporal difference, TD）的方法得到了广泛的应用，代表性算法包括 Sarsa 和 Q-learning。它们通过在实际交互过程中逐步更新策略与价值函数，具备在线和离线策略学习的能力。在线策略学习依赖于当前策略的样本更新，而离线策略学习则通过经验回放池反复利用历史样本，减少采样的复杂度并提高学习效率。Q-learning 是其中最具代表性的算法之一，其核心思想是通过最大化状态-动作值函数（Q函数），逐步逼近最优策略，即使在策略不断变化的情况下，仍能有效地收敛至最优策略。

1.1 时序差分法

  时序差分方法是一种用于估计策略价值函数的有效技术，它结合了蒙特卡洛（Monte Carlo）方法和动态规划（Dynamic Programming）思想的优势。时序差分方法与蒙特卡洛方法的相似之处在于，它能够从与环境的交互数据中学习，而不需要事先知道环境的状态转移模型。与动态规划方法的相似之处则在于，它通过贝尔曼方程的思想，利用后续状态的价值估计来更新当前状态的价值估计。

  蒙特卡洛方法对价值函数的增量更新可以表示为：

$$V(S_t)⟵V(S_t)+\alpha (G_t-V(S_t))$$

  其中，$G_t$是在时间步$t$时的实际回报，$\alpha$是步长（或学习率）。在蒙特卡洛方法中，更新只能在整个序列结束之后进行，因为$G_t$只有在序列终止时才能计算。

  然而，时序差分方法不需要等到整个序列结束，而是可以在每个时间步后立即更新。时序差分算法根据当前状态 $S_t$和下一状态 $S_{t+1}$的价值估计来更新当前状态的价值估计，其增量更新公式为：

$$V(S_t)⟵V(S_t)+\alpha (R_{t+1}+\gamma V(S_{t+1})-V(S_t))$$

  其中，$R_{t+1}$是在时间步$t+$