【转】 挖雷游戏的概率

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编程之美最后一题“挖雷游戏的概率”没附答案, 有一则脚注云“此题适合MATLAB用户解答”, 颇感有趣. 题目说, 一局16×16的扫雷游戏刚开始, 只翻开了两格, 分别显示数字1和2, 如下图所示(只画出了3×5的局部示意图). 设地雷总数从10逐渐增加到240, 请分别作出图中A, B, C三处为地雷的概率曲线.

此题适合用MATLAB解答是因为要求作出概率曲线. 如果地雷总数一定, 其实手算也很容易. 根据数字1和2的提示, 图示3×5方格中至少2个地雷, 至多3个地雷. 记 M=16×16=256 为扫雷游戏中格子总数,  N 为地雷总数. 分两种情况考虑.

1. 图中共2个地雷时可能的情况总数:  (M−15N−2)⋅(31)⋅(51) .
   • A处为地雷的情况总数:  0 .
   • B处为地雷的情况总数:  (M−15N−2)⋅1⋅(51) .
   • C处为地雷的情况总数:  (M−15N−2)⋅(31)⋅1 .
2. 图中共3个地雷时可能的情况总数:  (M−15N−3)⋅(51)⋅(52) .
   • A处为地雷的情况总数:  (M−15N−3)⋅1⋅(52) .
   • B处为地雷的情况总数:  0 .
   • C处为地雷的情况总数:  (M−15N−3)⋅(51)⋅(41) .

要求的概率可以简单地相除得到:

P(A)P(B)P(C)=10⋅(M−15N−3)15⋅(M−15N−2)+50⋅(M−15N−3);=5⋅(M−15N−2)15⋅(M−15N−2)+50⋅(M−15N−3);=3⋅(M−15N−2)+20⋅(M−15N−3)15⋅(M−15N−2)+50⋅(M−15N−3).

 

注意到所求的是比值, 所以 (M−15N−2) 和 (M−15N−3) 的值并不重要, 只需知道二者之比. 可以利用

(M−15N−3)=M−N−12N−2⋅(M−15N−2)

简化计算.

 

MATLAB程序很简单, 就不贴了. 最后附上曲线图.