信赖域（Trust Region）

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#数值优化

信赖域算法是一种解决非线性规划问题的方法，尤其适用于包含二次项的问题。它通过泰勒展开简化问题，并使用柯西点、Dogleg策略或二维子空间最小化来寻找步长。虽然线搜索方法更为常见，但信赖域方法在某些情况下，如结合Dogleg算法或共轭梯度法，能实现超线性收敛速度。其主要挑战在于Hessian矩阵的计算。

信赖域算法TR可以用来求解非线性规划问题（NLP, NonLinear Programing），比如含二次项问题的优化求解，但其实它跟线搜索方法一样，大量形式的优化问题都可以通过泰勒展开为（1）的形式，进而可以采用TR方法，不足之处是 ∇2f Hessian矩阵的计算比较耗时和占内存：

f(xk+p)=fk+∇fTkp+12pT∇2f(xk+tp)p, t∈(0
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机器人中的数值优化（五）——信赖域方法
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信赖域方法（Trust Region Methods）是一种用于非线性优化的数值优化方法，旨在寻找目标函数的最小值。信赖域算法是一种迭代算法，即从给定的初始解出发，通过逐步迭代，不断改进，直到获得满意的近似最优解为止。其基本思想是把最优化问题转化为一系列简单的局部寻优问题。
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刘红英老师的最优化课程需要用到信赖域方法，求解问题并画图，网上找到的中文内容的矩阵实验室（MATLAB）信赖域折线（狗腿）法求解代码，都很繁琐，而且心理感觉不可靠（手动狗头），而且我没心思一点一点调试，最后不如自己写一个靠谱。
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05-15
信赖域算法是求解非线性优化问题的一类重要的数值计算方法,它可以解决非 线性方程(组)、无约束和约束优化以及非光滑优化问题.由于信赖域算法良好的性 质，即强适性和较强的收敛性,因此受到非线性优化研究界的广泛重视.特别是最近 十多年,这种方法已经成为非线性最优化问题研究的一个热点.
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12-10
信赖域方法与线搜索技术一样，是优化算法中的一种保证全局收敛的重要方法
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### MATLAB 中的信赖域算法概述 MATLAB 提供了一系列用于数值计算和最优化的功能模块，其中包括基于信赖域方法的求解器。这些工具可以解决非线性方程组、无约束优化以及有约束优化等问题。 #### 信赖域算法简介 信赖域算法是一种迭代优化技术，广泛应用于无约束优化问题中。其核心思想是在每次迭代过程中构建目标函数的一个局部近似模型，并在一个称为“信赖域”的区域内寻找该模型的最佳改进方向[^1]。这种方法能够有效处理复杂的非凸优化问题并具有较强的鲁棒性和收敛性能。 #### MATLAB 的实现方式 在 MATLAB 中，`fminunc` 和 `fsolve` 函数支持使用信赖域反射法 (Trust-Region Reflective Algorithm)，这是针对特定类型的优化问题设计的一种高效算法： - **`fminunc`**: 这是一个用于无约束多变量最小化问题的求解器。当用户指定 `'Algorithm'='trust-region'` 参数时，它会采用信赖域方法来解决问题。 ```matlab options = optimoptions('fminunc', 'Algorithm', 'trust-region'); [x, fval] = fminunc(@myfun, x0, options); ``` - **`fsolve`**: 此函数适用于非线性方程系统的求解。如果输入问题是平方和形式，则可以选择信赖域算法作为默认选项之一。 ```matlab options = optimoptions('fsolve', 'Algorithm', 'trust-region-dogleg'); solution = fsolve(@myfun, x0, options); ``` 上述代码片段展示了如何通过设置参数调用相应的信赖域算法[^2]。 #### 自定义信赖域算法实例 对于更高级的应用场景或者教学目的来说，也可以尝试编写自定义版本的信赖域程序。下面给出一个简单的框架示例： ```matlab function [x, history] = trust_region_algorithm(fun, grad_fun, hess_fun, x0, delta_max, tol) % TRUST_REGION_ALGORITHM A basic implementation of the Trust Region Method. % % Inputs: % fun - Function handle to compute objective value at point x. % grad_fun - Gradient function associated with fun. % hess_fun - Hessian matrix computation routine linked to fun. % x0 - Initial guess vector for optimization process. % delta_max - Maximum allowed step size within each iteration's region boundary. % tol - Convergence tolerance criterion. n_iter = 0; delta = min(0.5*norm(grad_fun(x0)), delta_max); % Initialize radius based on gradient magnitude initially. history = []; while true n_iter = n_iter + 1; % Solve subproblem approximately via Cauchy Point or Dog Leg approach... end ``` 此伪代码仅提供了一个基本结构，实际应用需补充具体细节如子问题求解策略等部分[^3]. #### 参考资料扩展阅读建议 为了深入理解及灵活运用此类先进算法，推荐访问官方文档获取权威指导的同时还可以下载开源项目资源进一步学习实践[^4]: [MATLAB Optimization Toolbox Documentation](https://www.mathworks.com/help/optim/index.html)
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