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最新推荐文章于 2019-08-15 20:38:00 发布

原创最新推荐文章于 2019-08-15 20:38:00 发布 · 721 阅读

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本文深入探讨了容斥定理在解决数论问题中的作用，通过实例展示了如何利用该原理求解特定类型的数学问题，并提供了高效算法实现的代码示例。文中还详细介绍了如何计算具有特定性质的数列数量，涉及高精度计算和组合数学的容斥定理。通过数据简化和容斥定理的应用，文章提供了一种快速解决问题的方法。

终于知道容斥定理是个啥玩意了，真神奇。

题意略，其实幻化为表达式就是a1*num1+a2*num2+a3*num3+......an*numn = 1；本人没学过数论，但是一眼就看出这个表达式的意思就是说这n个数的gcd为1，结果baidu了一下，竟然真中枪了，原话是这样的（n个数的最大公约数规定为这n个数线性和的最小自然数，所以此题就是要求最大公约数为1的数列的个数）；其实这题数据很水，明显会用到高精度的，但是用__int64就能低空水过掉（水是一种风格），算gcd为1的数列种数肯定不好算，然后换个方向来进行计思考，可以先算出总数目m^n然后减去gcd不为1的，gcd不为1的情况有很多重复的，这时又得用到组合数学中的容斥定理（很经典的，用处也很多，不妨学一下。），这组合数学不懂真心完全理解不了，相信看完容斥定理的人看我代码也就懂了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 101;
int cou;

typedef struct {
int i,flag;
}Node;

Node arr[N];

bool cmp(Node a,Node b)
{
    return a.i<b.i;
}

__int64 mypow(__int64 a,__int64 b)
{
   __int64 sum = 1;
   while(a--)
   {
    sum *= b;
   }
   return sum;
}

void getdiv(__int64 m)
{
    int n = 1;
    int i;
    for(i=2;i*i<m;++i)
    if(m%i==0)
    {
        arr[n++].i = i;
        arr[n++].i = m/i;
    }
    if(i*i==m)
    {
        arr[n++].i = i;
    }
    arr[n++].i = m;
    sort(arr+1,arr+n,cmp);
    cou = n;
    for(int i=1;i<cou;++i)
    {
        bool flag = true;
        int k = 0;
        for(int j=1;j<i;++j)
         if(arr[j].flag==1&&arr[i].i%arr[j].i==0)
        {
            ++k;
            flag = false;
            if(arr[i].i%(arr[j].i*arr[j].i)==0)
            {
                k = 0;
                break;
            }
        }
        if(!flag)
            arr[i].flag = k;
        else
            arr[i].flag = 1;
    }

}

int main(void)
{
    int n,m;
    while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
    {
    __int64 ans = mypow(n,m);
    getdiv(m);
    for(int i=1;i<cou;++i)
    {
        if(arr[i].flag==0)
            ;
        else if(arr[i].flag%2)
        {
            ans -= mypow(n,m/arr[i].i);
        }
        else
        {
            ans += mypow(n,m/arr[i].i);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}