图形学相关数学（反射，折射公式）

反射公式

反射是经常用到的一个公式，之前在Phong光照的时候推导过一次，这次再整理一下。反射过程如图所示：

首先需要保证光方向向量AB，法向量N均为单位向量，反射向量AC，光入射方向AD = -AB

θ为入射角，由反射公式我们知道，AC与AB沿y轴对称，AD与AC沿x轴对称

EB = N * |AB|cosθ = N * dot（N，AB）

DC = 2 * EB = -2 * N * dot(N, AB)

AC = AD + DC = -AB + 2 * N * dot（N，AB）

C++代码如下：

	static Vector3 Reflect(const Vector3& vec, const Vector3& normal)
	{
		return -vec + normal * 2.0f * Vector3::Dot(vec, normal);
	}

这里面使用的是vec是指向光源方向的Vec（似乎在shader里面使用这种表示方法更多一些），如果vec指的是由光源方向指向入射点的位置（光线追踪使用得更多一些），则反射公式表示为：

	static Vector3 Reflect(const Vector3& vec, const Vector3& normal)
	{
		return vec - normal * 2.0f * Vector3::Dot(vec, normal);
	}

 

折射公式

最近在玩光线追踪，遇到了一个折射光线的代码，看了半天没太理解，后来拿出笔推算了一遍，才算是理解了原来折射公式还是比较复杂的。下面记录一下推导的过程，先来一张图：

其中入射光线L，折射光线T，入射角θ，折射角θ'，法线方向N，入射向量分解为L1，L2，折射向量分解为T1，T2。

首先需要的知识点是折射定律（似乎是中学时学过的）：

（1）折射光线位于入射光线和界面法线所决定的平面内；

（2）折射线和入射线分别在法线的两侧；

（3）入射角i的正弦和折射角i′的正弦的比值，对折射率一定的两种媒质来说是一个常数。

假设上方介质为1，下方介质为2，则n1 * sinθ1 = n2 * sinθ2，n21 = n2 / n1，表示介质2相对于介质1的折射率。

换成上图公式则为，sinθ' / sinθ  =  n1 / n2 = η。

cosθ = dot（N, -V） = -dot（N，V）。

cosθ' ^2 = 1 - sinθ' ^ 2 = 1 - η * η * sinθ ^2 = 1 - η * η * (1 - cosθ ^ 2)

cosθ' = sqrt（1 - η * η * (1 - dot（N，V） ^ 2)）

上图中，将入射光线和出射光线分别拆分成垂直于x轴和垂直于y轴的两条方向上的光线。

T = T1 + T2，L = L1 + L2，T和L以及N均为单位向量|T| = |L|

L = L1 + L2，L = -Ncosθ + L2  => L2 = L + Ncosθ

|T2| = |T|sinθ'，|L2| = |L|sinθ，二者相除，且由于|T| = |L|，得到 T2 = L2 * sinθ’ / sinθ = （L + Ncosθ）η

T1与N反方向，故T1 = -N * |T1| = -N * |T|cosθ'，由于|T|为单位向量，即 T1 = -N * cosθ'

T = T1 + T2 => T = -N cosθ' + （L + Ncosθ）η

T = -N * sqrt（1 - η * η * (1 - dot（N，V） ^ 2)） + （L - N * dot（N，V）） η

C++代码如下：

	//refractRatio = sinθ' / sinθ 
	static bool Refract(const Vector3& vec, const Vector3& normal, float refractRatio, Vector3& refractDir)
	{
		Vector3 inVec = vec;
		inVec.Normalize();
		float dt = Vector3::Dot(inVec, normal); //cosθ
		float s2 = 1.0 - dt * dt; // sinθ ^ 2
		float st2 = refractRatio * refractRatio * s2;// sinθ’ ^ 2 = refractRato ^ 2 * sinθ ^ 2
		float cost2 = 1 - st2;
		if (cost2 > 0)
		{
			refractDir = (inVec - normal * dt) * refractRatio - normal * sqrt(cost2);
			return true;
		}
		return false;
	}