0-1背包问题（动态规划）

一 问题描述：
     有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
    所谓01背包，表示每一个物品只有一个，要么装入，要么不装入。

二 解决方案：
   考虑使用动态规划求解，定义一个递归式 opt[i][v] 表示前i个物品，在背包容量大小为v的情况下，最大的装载量。
      opt[i][v] = max(opt[i-1][v] , opt[i-1][v-c[i]] + w[i]) 
   解释如下：
     opt[i-1][v] 表示第i件物品不装入背包中，而opt[i-1][v-c[i]] + w[i] 表示第i件物品装入背包中。

  花费如下：
     时间复杂度为O(V * N) ，空间复杂度为O(V * N)。时间复杂度已经无法优化，但是空间复杂度则可以进行优化。

     但必须将V 递减的方式进行遍历，即V.......0 的方式进行(其实可以V....c[i])。

knapsack：

1：只装入1个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值      
2：装入2个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值
。。。      
n：以此类推，装入n个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值

printMaxValue：

确定装入背包的具体物品，从opt[n][m]向前逆推：
若opt[n][m]>opt[n-1][m]，则第n个物品被装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m-w[n]的背包中
否则，第n个物品没有装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m的背包中
以此类推，直到确定第一个物品是否被装入背包为止

使用二维数组opt求解：

#include<iostream>
#define MAX 20
#define max(a,b) a>b?a:b 
using namespace std;
int N,V;//物品数量和容量
int cost[MAX]; //费用
int value[MAX];  //价值
int opt[MAX][MAX];  //存放最大价值
int x[MAX];//x[i]为1表示第i个物品放入背包

int knapsack()//参数是物品数量和容量，X数组表示组成，F[N][V]表示最大价值
{
	memset(opt,0,sizeof(opt));//初始化opt为0 
	for(int i=1;i<=N;i++)//求最大价值
	{
		for (int j=1;j<=V;j++)
		{
			if (cost[i]<=j)
				opt[i][j]=max(value[i]+opt[i-1][j-cost[i]],opt[i-1][j]);
			else
		 		opt[i][j]=opt[i-1][j];
		}
	}
	return opt[N][V];//返回最大值
}
void printMaxValue()//输出opt中的值（本函数无实际作用，只是为了显示下数据）
{
	for(int i=0;i<=N;i++)
	{
		for(int j=0;j<=V;j++)
			cout<<opt[i][j]<<" ";
		cout<<endl;
	}
} 
void traceback()//输出放入背包的物品编号 
{
	for(int i=N;i>0;i--)//x[i]为1表示第i个物品放入背包 
	{
		if(opt[i][V]==opt[i-1][V])
			x[i]=0;
		else
		{
			x[i]=1;
			V-=cost[i];
		}
	}	
	for(int i=0;i<=N;i++)
		if(x[i]) cout<<i<<"  ";
}

int main()
{
	while(cin>>N>>V)//输入物品数量和背包容量 
	{
		for(int i=1;i<=N;i++)
			cin>>cost[i]>>value[i];
		cout<<"max="<<knapsack2()<<endl;
		printMaxValue();
		traceback();
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}

优化空间复杂度为O(V)，使用一维数组：

#include<iostream>
#define MAX 20
using namespace std;
int N,V;//物品数量和容量
int cost[MAX]; //费用
int value[MAX];  //价值
int opt[MAX];  //存放价值

int knapsack()  //参数是物品数量和容量，X数组表示组成，F[N][V]表示最大价值
{
	memset(opt,0,sizeof(opt));//初始化opt为0 
	for(int i=1;i<=N;i++)//求最大价值
	{
		for (int j=V;j>=cost[i];j--)
		{
			if (value[i]+opt[j-cost[i]]>opt[j])
		 		opt[j]=value[i]+opt[j-cost[i]];
		}
	}
	return opt[V];//返回最大值
}
int main()
{
	while(cin>>N>>V)//输入物品数量和背包容量 
	{
		for(int i=1;i<=N;i++)
			cin>>cost[i]>>value[i];
		cout<<"max="<<knapsack()<<endl;
	}
	return 0;
}

参考 http://www.cppblog.com/jake1036/archive/2011/06/27/149566.html