跺积术-矩阵乘法、矩阵n次方

 

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 ...

6 10 16 26 42 68 110 178 288 466 754 ...

第一行是斐波那契数列

其余行也类似于斐波那契数列，但是第i行的第一个数是前i-1行中没有出现过的最小正整数，第二个数 = 第一个数 * 2 - i + 1

i从1开始编号

请你输出输出第i行第j列的数字对m取模的结果。

输入描述

三个正整数i,j,m

i表示第i行，j表示第j列

i,j -> [1,10^9]

m -> [2,10^4]

输出描述

输出第i行第j列的数字对m取模的结果

 矩阵乘法

1.真正意义上利用二维数组建立矩阵，矩阵的乘积即为A[i][j]×B[j][k] = C[i][k];

2.本题为裴波那契矩阵的变形，即其实只需要一个二阶矩阵，直接利用结构体建立a、b、c、d四个量表示矩阵的四个值进行计算比较方便。

矩阵快速幂

1.快速是使用分治法，对矩阵的幂进行二进制转化，两种形式：

    1）n&1a位运算  2）n%2取余

最终得到的都是n的第一位上的0或1，

1）如果为0：n=n*n，即矩阵平方 2）如果为1：result用于存储，result = result*n即乘一个n

最后对n进行进位         1)n/=2         2）n=n>>2   二进制右移

本题特殊的公式：

        第i行的第一个数的公式为： 

最后的处理为每一步取余，不至于超出long long 的表示范围

#include <stdio.h>    
#include<math.h>    
long long m;
const long long MOD = 10000; // 取模数    

// 定义矩阵结构体    
typedef struct {
    long long a, b, c, d;
} Matrix;

// 矩阵乘法    
Matrix multiply(Matrix m1, Matrix m2) {
    Matrix result;
    result.a = (m1.a * m2.a + m1.b * m2.c) % m;
    result.b = (m1.a * m2.b + m1.b * m2.d) % m;
    result.c = (m1.c * m2.a + m1.d * m2.c) % m;
    result.d = (m1.c * m2.b + m1.d * m2.d) % m;
    return result;
}

// 矩阵快速幂    
Matrix matrixPower(Matrix m, long long n) {
    Matrix result = { 1, 0, 0, 1 }; // 单位矩阵    
    while (n > 0) {
        if (n % 2 == 1) {
            result = multiply(result, m);
        }
        m = multiply(m, m);
        n /= 2;
    }
    return result;
}

// 计算斐波那契数列的第 i 个值，初始值为 x 和 y    
long long fibonacci(long long x, long long y, long long  i) {
    Matrix M = { 1, 1, 1, 0 };
    Matrix power = matrixPower(M, i - 1);
    long long  result = ((power.c * y)%m + (power.d * x)%m);
    return result;
}

int main() {
    long long  i, j;
    scanf("%lld %lld %lld", &i, &j, &m);
    long long  start = (long long int)(i - 1 + i * (sqrt(5) + 1) / 2);
    long long next = start * 2 - i + 1;
    long long result = fibonacci(start, next, j);
    printf("%lld\n", result % m);

    return 0;
}