SOSTOOLS的例子学习

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#matlab

昨天学习了一下SOSTOOLS工具箱编程的逻辑和语法，今天尝试理解给出的DEMO，为解决科学问题打基础

1.可行性

给定一个多项式 $p(x)=2x_1^4+2x_1^3x_2-x_1^2x_2^2+5x_2^4$ ，确定 $p(x)≥0p(x)\geq0$ 是否可行。
可以用 sosineq 来解决这个问题，也可以用 findsos 来解决这个问题

clc;clear all;
 syms x1 x2
 prog1 = sosprogram([x1;x2]);
 p = 2*x1^4+2*x1^3*x2-x1^2*x2^2+5*x2^4
 prog1 = sosineq(prog1,p);
 options.solver = 'mosek';
 [prog1,info] = sossolve(prog1,options);

clc;clear all;
 syms x1 x2
 prog1 = sosprogram([x1;x2]);
 p = 2*x1^4+2*x1^3*x2-x1^2*x2^2+5*x2^4
findsos(p,'rational')

2. 搜索非线性系统的Lyapunov函数

对于一个非线性系统
$\left[ \begin{matrix} \dot{x_1} \\ \dot{x_2} \\ \dot{x_3} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -x_1 ^3-x_1 x_3^2\\ -x_2-x_1 ^2x_2 \\ -x_3-\frac{3x_3}{x_3^2+1}+3x_1^2x_3 \end{matrix} \right]$
如何得到Lyapunov函数呢？
如果这个非线性系统是稳定的，那么它的Lyapunov函数 $V (x)$ 必须满足：
$V−ϵ(x12+x22+x32)≥0V-\epsilon(x_1^2+x_2^2+x_3^2)\geq0$ $-\frac{{\displaystyle \partial }V}{ {\displaystyle \partial }x_1}\dot{x_1}- \frac{{\displaystyle \partial }V}{ {\displaystyle \partial }x_2}\dot{x_2}- \frac{{\displaystyle \partial }V}{ {\displaystyle \partial }x_3}\dot{x_3}\geq0$
下面要构建SOSP问题，选择 $ϵ=1\epsilon=1$ ：
$V−(x12+x22+x32)≥0V-(x_1^2+x_2^2+x_3^2)\geq0$ $-\frac{{\displaystyle \partial }V}{ {\displaystyle \partial }x_1}(x_3^2+1)\dot{x_1}- \frac{{\displaystyle \partial }V}{ {\displaystyle \partial }x_2}(x_3^2+1)\dot{x_2}- \frac{{\displaystyle \partial }V}{ {\displaystyle \partial }x_3}(x_3^2+1)\dot{x_3}\geq0$

clc;clear all;
pvar x1 x2 x3
f = [(-x1^3-x1*x3^2)*(x3^2+1);
    (-x2-x1^2*x2)*(x3^2+1);
    (-x3^3-4*x3+3*x1^2*x3^3+3*x1^2*x3)];
prog = sosprogram([x1;x2;x3]);
[prog,V] = sospolyvar(prog,[x1^2;x2^2;x3^2],'wscoeff');
prog = sosineq(prog,V-(x1^2+x2^2+x3^2));
expr = -diff(V,x1)*f(1)-diff(V,x2)*f(2)-diff(V,x3)*f(3);
prog = sosineq(prog,expr);
options.solver = 'mosek'
prog = sossolve(prog,options)
SOLVE = sosgetsol(prog,V)