数据结构与算法 图

图

图的定义和术语：

• 图G由顶点集V和关系集E组成,记为: G=(V,E)
  – V是顶点(元素)的有穷非空集， E是两个顶点之间的关系的集合。
• 若图G任意两顶点a,b之间的关系为有序对<a,b>,<a,b>∈E,
  则称<a,b>为从a到b的一条弧/有向边；
  –其中： a是<a,b>的弧尾， b是<a,b>的弧头； 称该图G是有向图。
  G₁={V₁,E₁},
  V₁={A,B,C,D,E}, E₁={<A,C>,<A,D>,<C,D>,<B,E>,<E,B>}
• 若图G的任意两顶点a,b之间的关系为无序对(a,b), 则称(a,b)为无向边(边）,称该图G是无向图。 无向图可简称为图。
  G₂={V₂,E₂},
  V₂={1,2,3,4,5,6}, E₂={(1,3),(1,5),(3,5),(4,6)}
  

一些特殊的图

1.完全图----有n个顶点和n(n-1)/2条边的无向图

2.有向完全图----有n个顶点和n(n-1)条弧的有向图

3.网(Network)----边(弧)上加权(weight)的图。

• 对图 G=(V,E)和G’=(V’,E’)，
  若V’属于V 且 E’属于E，则称G’是G的一个子图
  
• 与顶点x相关联的边(x,y)的数目,称为x的度，
  记作TD(x) 或D(x)，
• 以顶点x为弧尾的弧<x,y>的数目,
  称为x的出度，记作OD(x)。
• 以顶点x为弧头的弧<y,x>的数目,
  称为x的入度，记作ID(x)
• 若从顶点v_i到v_j有路径,则称v_i和v_j是连通的。
• 若图G中任意两顶点是连通的,则称G是连通图。
• 若图G’是G的一个极大连通子图则称G’是G的一个连通分量。(连通图的连通分量是自身)
  
  对有向图G
  ● 若在图G中,每对顶点v_i和v_j之间, 从v_i到v_j,且从 v_j到v_i存在路径,则称G是强连通图。
  ● 若图G’是G的一个极大强连通子图,则称G’是G的一个强连通分量。(强连通图的强连通分量是自身)
  例如：下图G12是强连通图，但非极大故非强连通分量。
  
• 设G=(V,E),G’=(V’,E’),V=V’,若G是连通图,
  G’是G的一个极小连通子图,(非极大即可) 则G’是G的一棵生成树。
  
• 若有向图G有且仅有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度
  为1,则G是一棵有向树。
  
• 有向图的生成树/生成森林。（结合树那章的概念）
  

图的存储结构

1.数组表示法/邻接矩阵

1. 顶点数组—用一维数组存储顶点(元素)
2. 邻接矩阵—用二维数组存储顶点(元素)之间的关系(边或弧)

2.邻接表、逆邻接表 : 链式存储结构。
（1） 无向图的邻接表 :
为图G的每个顶点建立一个单链表，第i个单链表中的结点表示依附于顶点vi的边。

• 若无向图G有n个顶点和e条边，需n个表头结点和2e个表结点。
  无向图G的邻接表，顶点vi的度为第i个单链表的长度。

（2）有向图的邻接表 :
第i个单链表中的表结点，表示以顶点vi为尾的弧(v_i,v_j)的弧头。

• 若有向图G有n个顶点和e条弧，则需n个表头结点和e个表结点。
  有向图G的邻接表，顶点vi的出度为第i个单链表的长度。
  求顶点v_i的入度需遍历全部单链表，统计结点值为i的结点数。（麻烦）

（3）有向图的逆邻接表：
第i个单链表中的表结点，表示以顶点vi为头的弧(v_i,v_j)的弧尾。

• 若有向图G有n个顶点e条弧，则需n个表头结点和e个表结点。
  有向图G的逆邻接表，顶点vi的入度为第i个单链表的长度。
  求顶点vi的出度需遍历全部单链表，统计结点值为i的结点数。（改进）

（4）有向网的邻接表

3.有向图的十字链表。–将邻接表和逆邻接表合并而成的链接表。

• 以邻接表为基础，扩展结点属性成起止结点序号
  再添加逆邻接表信息
  

4.邻接多重表

• （无向图的）的另一种链式存储结构
• （1）图的一个顶点用一个“头结点”表示， 其中：
  data域 ：存储和该顶点相关的信息，
  firstedge域 ：存储第一条依附于该顶点的边。

• （2）图的一条边用一个“结点”表示，
  其中：
  mark----标志域，可用以标记该条边是否被搜索过；
  v_i和v_j----该条边依附的两个顶点在图中的位置；
  vilink----指向下一条依附于顶点vi的边；
  vjlink----指向下一条依附于顶点vj的边。
  避免了无向图邻接表的一条边用两个结点。
  
  
  

图的遍历

从图G的某定点v_i出发，访问G的每个顶点一次且一次的过程。

1.图的深度优先搜索----DFS—Depth First Search

2.图的广(宽)度优先搜索----BFS—Breadth First Search

3.生成树

• DFS的生成树
  
• BFS的生成树
• 假定从A出发BFS遍历图G：
  
  4.生成森林
• DFS的生成森林
  
• BFS的生成森林
  
  5.网的最小生成树-----在网G的各生成树中，其中各边的权之和最小的生成树称为G的最小生成树。
  
• MST性质：设G=（V，E）是一个连通图，通过某种算法构造其最小生成树，T=（U，TE）是正在构造的最小生成树。如果边（u,v)是G中所有一端在U中（即u∈U）而另一端在V-U中（即v∈V-U）具有最小值的一条边，则必存在一棵包含边（u,v)的最小生成树。

1.普里姆(prim)算法 以选顶点为主

• 对n个顶点的连通网，初始时， T=（U，TE），U为一个开始顶点，TE=φ，以后根据MST性质，每次增加一个顶点和一条边，重复n-1次。Ｕ不断增大，Ｖ－Ｕ不断减小直到为空。
  例：从A出发
  
• 另一棵最小生成树：从D出发