位运算实现加减乘除

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0.background

数据在计算机内存中是以二进制存储的。 几种常用的位运算：

与运算&： 对应位均为1时为1，其它为0。
或运算|： 对应位均为0时为0，其它为1。
异或运算^： 对应位不相同时为1，相同时为0.
按位取反~： 每一位取反
右移>>: 将二进制进行右移，低位丢掉，高位补零。
左移<<： 将二进制进行左移，低位补零，高位丢掉。

1.加

以0111 + 0101为例，观察异或运算和与运算的结果

0111 ^ 0101 = 0010; //结果的每一位等于对应位相加模二，刚好是不带进位的加法结果。

0111 & 0101 = 0101; //结果的1表示对应位相加为2，0表示对应位相加小于二，刚好是进位标识。

又因为进位是向高位进位，也就是说如果第二位是1，则表示在计算过程中要向第三位进位，所以可以将与运算结果左移一位后和异或运算的结果做加法。
代码如下：

 
int add(int a, int b)
{
	return  (b == 0) ?a: add(a^b, (a&b) << 1);
 
	/*
	if(b == 0)
		return a;
	else
	return add(a^b,(a&b)<<1);
	//异或结果 + 与运算结果左移一位
	*/
}

2.减

减法和加法相同，减去一个数相当于加上这个数的相反数，所以完全可以利用加法操作，唯一需要做的就是求出被减数的相反数。
求相反数的方法：每一位取反，末位加一。
代码如下：

//求n的相反数
//~：按位取反
//add：加法操作，末位加一
int negtive(int n)
{
	return add(~n,1);
}
int Sub(int a, int b)
{
	return add(a, negtive(b));
}

3.乘

平时在笔算乘法数据都是十进制的，而抛去思维定势，把数看成是二进制，也可以进行笔算乘法，像这样

$$a\ast b=a\ast (b_{31}\ast 2^{31}+b_{30}\ast 2^{30}+...+b_0\ast 2^0)=a<<31\ast b_{31}+a<<30\ast b_{30}...+a<<0\ast b_0$$
根据算式可以知道，对于a * b，每次只需要将a左移一位乘上b的对应位，然后同上一次的结果做加法即可。 也就意味着当b的对应位为1时，对a左移一位然后同上一次的结果做加法。 如果b的对应位为0，只对a左移一位。 当然，上述这些运算不包括符号位，所以两个操作数都需要先转换成正数，符号需要单独考虑。对于4个字节（32位整数）来说，获取符号位只需要取出第31位的值即可。

//获取符号位，判断是正负
int getSign(int n)
{
	return n >> 31;
}
// 求绝对值
int PosAbs(int n)
{
	return (getSign(n) & 1) ? negtive(n) : n;
}
 
int Mul(int a, int b)
{
 //如果两个数符号位不相容，则结果为负
	int flag = 0; // 
	if (getSign(a) ^ getSign(b))
		flag = 1;
 
	a = PosAbs(a);
	b = PosAbs(b);
 
	int res = 0;
	while (b | 0)
	{
	 //如果两个数符号位不相容，则结果为负
		if (b & 1)
		{
			res = add(res, a);
		}
		a = a << 1;
		b = b >> 1;
	}
 
	return flag == 1 ? negtive(res) : res;
}

4. 除

int Div(int a, int b)
{
	if (b == 0)
	{
		return 0;
	}
	int falg = 0;
	if (getSign(a) ^ getSign(b))
		falg = 1;
	a = PosAbs(a);
	b = PosAbs(b);
 
	int res = 0;
	while (a>=b)
	{
		res = add(res, 1);
		a = Sub(a, b);
	}
	return falg == 1 ? negtive(res) : res;
}