数据库建模和设计（2）：函数依赖、闭包、最小函数依赖集、范式、模式分解

一、函数依赖：

在关系R中，若属性或者属性集 A 中 两个元祖的值相等，如果这两个元祖中对应的属性或者属性集B中的值也相同，则记作A——>B。 A函数决定B； 或者 B函数依赖于A。

例1：下表就是问题领域, 则存在的函数依赖有哪些呢?

属性A的值都不相等，所以A--->B；  而属性B中前两行元祖相同，对应的属性C的前两组元祖也相同，所以B----->C;

而属性C的三行元祖是全部相同的，对应的属性A和属性B，没有三行元祖的值是全部一样的，所以C函数不决定任何.

属性A的元祖的值相同的时候，对应的属性C元祖的值也都相同，所以A--->C；

而属性B元祖的值相同的时候，没有全部一样的属性对应的元祖的值也一样。（b2的值虽然和d2的值对应，但是值为b3的两个元祖对应的是d3、d4,值不是相同的，故：B不能决定D；

而属性C中，前两行的元祖的值相同，对应的A属性中的前两行元祖的值也相等，但是属性C后三行的值c2是都一样的，在A、B、D属性中,后三行的值没有完全一样的，故：C也不能决定其他。

属性D中第2、3行中的值相等，对应的属性B中，第2、3行的元祖的值也是相等的，所以：D----->B;

对X——>Y，若Y⊄X，则称X→Y为非平凡的函数依赖； 如：(职工号,姓名)→性别，职工号——>姓名；

平凡函数依赖：(职工号,姓名)→姓名；  (职工号,性别)——>性别；

1、完全函数依赖：

设X,Y是关系R的两个属性集合，X’是X的真子集，存在X→Y，但对每一个X’都有X’!→Y，则称Y完全函数依赖于X。

比如：（学号,课号）——>成绩;   单独一个学号，不能决定成绩，单独一个课程，也不能决定成绩；只有二者同时，才能决定；

2、部分函数依赖：

设X,Y是关系R的两个属性集合，存在X→Y，若X’是X的真子集，存在X’→Y，则称Y部分函数依赖于X。

（学号,课号）——>姓名；学号和课号能决定姓名, 单独一个 学号 也能决定 姓名；

3、传递函数依赖：

设X,Y,Z是关系R中互不相同的属性集合，存在X→Y(Y !→X),Y→Z，则称Z传递函数依赖于X。

学号——>系号，系号——>系主任;       系主任   传递依赖于  学号；

二、候选键：

(1)可任选一候选键作为R的主键(Primary Key)；    即：当候选码多于一个时，选定其中一个作为主码

(2)包含在任一候选键中的属性称主属性(Prime Attribute),其他属性称非主属性；

(3)若K是R的一个候选键，SK, 则称S为R的一个超键(Super Key)。

(4)若k是候选键(码）,则必须满足两个条件，k的闭包是U，k没有冗余。

2、候选码的确定(算法)

设关系模式R中U=ABC.......等N个属性，U中的属性在FD中有四种范围：

(1)左右出现;
(2)只在左部出现;
(3)只在右部出现;
(4)不在左右出现;

算法：按以下步骤求候选键：
1.只在FD右部出现的属性，不属于候选码;
2.只在FD左部出现的属性，一定存在于某候选码当中;
3.外部属性一定存在于任何候选码当中;  (左右都不出现)

4.其他属性逐个与2,3的属性组合，求属性闭包，直至X的闭包等于U,若等于U,则X为候选码。

3、候选码以及属性相关的案例;

U={学号，姓名，年龄，班号，班长，课号，成绩 }     

候选键：学号，课号；

主属性：学号，课号；（主要的属性，能决定其他属性的),  即：学号，课号称为U的主属性；

非主属性：U中剩余的属性，即：姓名，年龄，班号，班长，成绩；

例1：R<U,F>,U=(A,B,C,D,E,G),F={AB-->C,CD-->E,E-->A.A-->G},求候选码以及主属性。

因为：G只在右边出现，所以候选码肯定不包含G，AB只出现在左边，所以，候选码中肯定有BD，而BD的闭包还是BD，则对BD进行组合,除了G以外,BD可以跟A,C,E进行组合。

  先看ABD
  ABD本身自包ABD,而AB-->C,CD-->E,A-->G,所以ABD的闭包为ABDCEG=U
  再看BDC
  CD-->E,E-->A,A-->G,BDC本身自包,所以BDC的闭包为BDCEAG=U
  最后看BDE
  E-->A,A-->G,AB-->C,BDE本身自包,所以BDE的闭包为BDEAGC=U

  因为(ABD)、(BCD)、(BDE)的闭包都是ABCDEG所以本问题的候选码有3个分别是ABC、BCD和BDE

 

候选码：ABC，BCD，BDE；

主属性：ABCDE;

非主属性：G；

例2：R<U,F>,U=(A,B,C),F={AB-->C,C-->B},求候选码。

因为：A只出现在左边，所以候选码中肯定存在A，然而A的闭包还是A，所以需要对A进行组合，可以和B,C进行组合。

先看AB

  AB本身自包AB,而AB-->C,所以AB的闭包为ABC=U；

再看AC

  C-->B,而AC本身自包AC,所以AC的闭包为ABC=U；

候选码：AB，AC

主属性：ABC;              非主属性：无；        此时又称为 全码。（所有属性构成码）。

三、Armstrong公理系统：

设关系模式R<U,F>，其中U为属性集，F是U上的一组函数依赖，那么有如下推理规则

① A1自反律：若Y⊆X⊆U，则X→Y为F所蕴含；                    即：ABC→AB；   AB——>A (平凡依赖函数)；

② A2增广律：若X→Y为F所蕴含，且Z⊆U，则XZ→YZ为F所蕴含；

③ A3传递律：若X→Y，Y→Z为F所蕴含，则X→Z为F所蕴含。

根据上面三条推理规则，又可推出下面三条推理规则：

④ 合并规则：若X→Y，X→Z，则X→YZ为F所蕴含；

⑤ 伪传递规则：若X→Y，WY→Z，则XW→Z为F所蕴含；  即：A→B，AC→BC；BC→D ；得出AC→D；

⑥ 分解规则：若X→Y，Z⊆Y，则X→Z为F所蕴含。      即：A→BC;  能得出：  A→B，A→C；

四、闭包：

闭包就是由一个属性直接或间接推导出的所有属性的集合。

例如：f={a->b，b->c，a->d，e->f}；由a可直接得到b和d，间接得到c，则a的闭包就是{a，b，c，d}；

已知关系R(A1，A2，A3，A4，A5，A6)，函数依赖集F为{ (A2，A3)——>A4，A3——>A6，(A2，A5)——>A1 }， 问(A2，A3)关于F的属性闭包为：{A2，A3,A4,A6}；  因为：A2，A3能带到A4，A3能得到A6；

已知关系R(A，B，C，D，E，F，G)，函数依赖集F为{ A ——>B，B——>D，AD——>EF，AG——>C}， 问：A关于F的属性闭包为:{A,B,D,E,F}；     因为：A能得到B，B能得到D，AD能得到EF;

五、最小函数依赖集（最小覆盖）：

1、定义：

如果函数依赖集F满足以下条件，则称F为一个极小函数依赖集。也称为最小依赖集或最小覆盖。

(1)F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性。

(2)F中不存在这样的函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价。

(3)F中不存在这样的函数依赖X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}U{Z→A}与F等价。

2、最小依赖集通用算法：

① 用分解的法则，使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；

② 去掉多余的函数依赖：从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉，然后在剩下的函数依赖中求X的闭包X+，看X+是否包含Y，若是，则去掉X→Y；否则不能去掉，依次做下去。直到找不到冗余的函数依赖；

③ 去掉各依赖左部多余的属性。一个一个地检查函数依赖左部非单个属性的依赖。例如XY→A，若要判Y为多余的，则以X→A代替XY→A是否等价？若A属于(X)+，则Y是多余属性，可以去掉。（以上步骤中，求出关系依赖集F,此时，再F的基础上，求出X或者Y的闭包，是否包含A）

3、最小依赖集案例：

例1：关系模式R(U，F)中，U=ABCDEG，F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B,ADG->BC}；求F的最小函数依赖集

步骤：

（1）用分解的法则，使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；得到：F={ B->D，DG->C,BD->E,AG->B,ADG->B，ADG->C}；

（2）去掉多余的函数依赖：从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉，然后在剩下的函数依赖中求X的闭包X+，依次做下去。直到找不到冗余的函数依赖；

① 去掉B->D，此时F={ DG->C,BD->E,AG->B,ADG->B，ADG->C}，此条件下得出B的闭包 B+ = B；B+不包含D，所以B->D保留。

②去掉DG->C，此时F={ B->D,BD->E,AG->B,ADG->B，ADG->C}，此时DG闭包DG+ = DG，不包含C,所以不能去掉DG->C.

③ 去掉BD->E，此时F={ B->D，DG->C,AG->B,ADG->B，ADG->C}，此时闭包BD+ = BD,不包含E，所以不能去掉BD->E，继续保留。

④去掉AG->B，此时F={ B->D，DG->C,BD->E,ADG->B，ADG->C}；此时AG+ = AG，不包含B，所以不能去掉AG->B，继续保留。

⑤去掉ADG->B，此时F={ B->D，DG->C,BD->E,AG->B,ADG->C}，此时ADG+ = ADGCBE,包含了B，所以删除ADG->B，不保留。

⑥去掉ADG->C，此时F={ B->D，DG->C,BD->E,AG->B}，此时ADG+ = ADGCBD,包含了C，所以删除ADG->C，不保留。

综上所得，此时得到F={ B->D，DG->C,BD->E,AG->B}；

（3）去掉各依赖左部多余的属性。一个一个地检查函数依赖左部非单个属性的依赖。

此时函数依赖左边非单个属性有：DG->C,BD->E,AG->B；所以做如下操作：

①先来看DG->C，首先去掉D，则此时G的闭包G+ = G，不包含C，保留D。再次去掉G，此时D+ = D，不包含C，所以G也不能去掉；

②再来看BD->E，首先去掉B，得到此时D的闭包D+ = D，不含E，保留B。然后去掉D，此时B+ = BDE，包含了E，所以去掉D，即得出：B->E;