数学智力竞赛算法解析-优快云博客

问题描述

今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：312，当N=3，K=1时会有以下两种分法：3 * 12=36
　　
　　31 * 2=62

这时，符合题目要求的结果是：31*2=62

现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入格式

程序的输入共有两行：
　　第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
　　第二行是一个长度为N的数字串。

输出格式

输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

样例输入

4 2
1231

样例输出

62
//注释：62=1 * 2 * 31

算法分析

这是一道明显的动态规划题目。
思路同举证乘法，从中间某处断开，根据最优子结构性质划分出规模更小的子问题。

算法中用nlp[i][j]表示从第1个数字到第i个数字中加入j个乘号之后的最优值。
显然，i个数字中最多能够加入i-1个乘法符号，那么0<=j<=i-1。

如果在1到i中的k处断开，将序列分成1到k-1段和k到i段
在断开的地方加入乘号（k的取值范围：2<=k<=i），那么此时
nlp[i][j]=nlp[k-1][j-1]*(从第k到i连续的数字组成的整数值)

这里问题又缩小到从第k到第i的连续的数字如何表示成整数值的问题。

nlp[i][0]表示从第1个数字到第i个数字自然连接的整数值。

例如：nlp[4][0]=1231
nlp[2][0]=12

那么从第k到第i的连续的数字如何表示成整数值即为nlp[4][0]-nlp[2][0]*2

所以如果在1到i中的k处断开，将序列分成1到k-1段和k到i段
在断开的地方加入乘号，那么此时
nlp[i][j]=nlp[k-1][j-1]*(nlp[i][0]-(nlp[k-1][0]*10^(i-(k-1))));

AC源代码

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int n;//6<=n<=40
int k;//k表示乘法次数
long long  a[41];
//nlp[i][j]表示从1-i的长度中加上j个乘法
long long nlp[41][41];
//求10的乘方
long long  Rax10(int n)
{
    if(n==0)  return 1;
    else if(n==1) return 10;
    else return 10*Rax10(n-1);
}
int main()
{
    cin>>n>>k;
    string s;
    cin>>s;
    //分离出每一位
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=s[i-1]-'0';
    }
    //给nlp[i][0]赋值
    //nlp[i][0]表示从1到i的数中间自然连接不用乘号的数值
    long long temp=0;//以防数据过大，中间变量内存最大化
    for(int i=1;i<=n;i++){
        temp=temp*10+a[i];
        nlp[i][0]=temp;
    }
    //若想求从i到j的字符对应的数字为多少
    //(nlp[j][0]-(nlp[i][0])*Rax10(j-i))
    for(int i=2;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=i-1;j++){
        //假设先从最后一个位置k=i处断开，即倒数第一个数字之前
        //那么nlp[i][j]=
        nlp[i][j]=nlp[i-1][j-1]*(nlp[i][0]-(nlp[i-1][0]*Rax10(1)));
        //之后k在2到i-1之中寻找能否更新nlp
        for(int k=2;k<i;k++)
            if(nlp[i][j]<nlp[k-1][j-1]*(nlp[i][0]-(nlp[k-1][0]*Rax10(i-k+1))))
                nlp[i][j]=nlp[k-1][j-1]*(nlp[i][0]-(nlp[k-1][0]*Rax10(i-k+1)));
    }
    /*for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<i;j++)
            cout<<nlp[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }*/
    cout<<nlp[n][k];
    return 0;
}